Facile facile

[eafkuor1]

ecco un quesito che per voi dovrebbe essere banale...
io l' ho dimostrato in circa 15 minuti, figuriamoci voi..

dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari e' uguale a n^2

se volete posto la mia dimostrazione

-----------------------
Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

[jack110]

si può procedere per induzione...la formula funziona per 1; supponiamo che valga per i primi n numeri...adesso, la formula per l' n+1-esimo numero sarà: n^2+(2n+1), cioè la somma dei primi n numeri dispari e l'n+1-esimo numero dispari...ma quello scritto sopra equivale a
(n+1)^2, pertanto si dimostra che la somma dei primi n numeri dispari è n^2...
ciao

[Cavia1]

La cosa migliore mi sembra quella di disegnare un quadrato su un foglio a quadretti. Partendo poi da un vertice (per esempio quallo in basso a sinistra) disegni un quadrato 1x1, uno 2x2, 3x3, ecc. Le cornici a "L" che trasformano un quadrato nel successivo sono i numeri dispari. L'ultimo quadrato è allora la somma dei primi n numeri dispari!

Cavia

[vecchio1]

eh eh..carina la dimostrazione di Cavia...cmq anch'io a suo tempo l'avevo dimostrato per induzione...figuriamoci che sono andato dal mio prof convinto di aver scoperto chi sa che cosa...[;)]

[salvorapi]

Ragazzi, ma quale induzione ???
Il problema è molto più semplice di quanto sembra.

Ricordate Gauss ???

---- NOTAZIONE ----

utilizzerò come simbolo di sommatoria la
funzione S([valore_iniziale],[valore_finale],[funzione]).

---- FINE NOTAZIONE ----

Abbiamo che

S(0,n,i) = n (n+1) / 2

dimostrato dal grande Gauss.

Bene. Come determiniamo i numeri dispari ? La sequenza di numeri
dispari è determinata dalla funzione f(i)=2i-1 per i=1..n

Allora alla possiamo dire che
S(1,n,2i-1) = 2*S(1,n,i) - n => [ S(1,n,i) = n * (n+1) /2 ]
=> S(1,n,2i-1) = n ( n + 1 ) - n = n^2

c.v.d.

[eafkuor1]

come ho fatto io:



-----------------------
Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen

[vecchio1]

si beh...hai usato semplicemente un altro teorema...io non sono partito da Gauss...tutto qui..cmq non è l'induzione sia così difficile!!

[EUCLA]

quote:

---

Originally posted by vecchio

eh eh..carina la dimostrazione di Cavia...cmq anch'io a suo tempo l'avevo dimostrato per induzione...figuriamoci che sono andato dal mio prof convinto di aver scoperto chi sa che cosa...[;)]

---

allora siamo in due..io l'ho fatto l'anno scorso

[JvloIvk]

Si può fare anke così:
tenendo conto dell'identità algebrica
(n+1)^2-n^2=2n+1
si ricava ke:

n-1               n-1
Sum [(n+1)^2-n^2]=Sum 2n+1
n=0               n=0

i termini intermedi si elidono e rimane

n-1
Sum 2n+1 = n^2
n=0

Cmq la dimostrazione ke utilizza l'induzione è ovviamente la + immediata

[infinito1]

Condivido «Cmq la dimostrazione ke utilizza l'induzione è ovviamente la + immediata».

Poi cercando anch'io una dimostrazione diversa ne ho trovata una che però forse è troppo simile alla precedente (di JvloIvk), e che si basa semplicemente nell'applicare la definizione (tutti i numeri seguenti sono naturali) (Provo ad usare roba che no so se funziona...):

h dispari significa h=2·i+1

la somma dei primi n dispari è [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2i-1) = 2· \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i - n =2·n(n+1)/2-n = n²+n-1 = n²[/tex]

[infinito1]

Come non detto, mi scuso e scrivo "meglio" .

n
Sum (2h+1) = ... =2·n(n+1)/2-n=n²
h=1

se si scrive viene "naturale".