Facile

[eafkuor1]

Abbiamo una moneta. Se esce testa, facciamo un passo avanti, se esce croce uno indietro. Data una posizione (per esempio "$n$ passi indietro" o "$k$ passi in avanti"), dire in quanti modi è possibile arrivarci effettuando $m$ lanci.

[Cheguevilla]

Non sempre e' possibile arrivarci.
Cioe', n e m devono essere o entrambi pari o entrambi dispari.
Oltre, ovviamente, al fatto che deve essere m>n.
In questi casi, e' $m!/(n!*(m+n)!)$ oppure $m!/(n!*(m-k)!)$

[eafkuor1]

Io ho trovato un altro risultato. Prendendo un sistema di assi cartesiani e partendo dall' origine, ad ogni lancio della moneta ci muoviamo verso destra di 1, poi su se esce testa e giù se esce croce.
Dato un punto $P(n,k)$, e detti $t>=0$ e $c>=0$ il numero di teste e croci uscite, avremo $t+c=n$ e $t-c=k$. Da qui ricaviamo $c=(n-k)/2$, quindi il numero di modi in cui è possibile arrivare a $P$ con $n$ lanci è $((n),(c))=((n),((n-k)/2))$

[Cheguevilla]

E' la stessa cosa, ma un po' piu' macchinosa...
Con il mio ragionamento, il mio m+n e' uguale al tuo t, mentre il mio m-k e' uguale al tuo c.
Per la proprieta' simmetrica del coefficiente binomiale:
$((n),(k))=n!/((n-k)!*k!)$
Quindi, sostiutuendo t e c a m+n e a m-k, $m!/(n!*(m+n)!)$ diventa:
$m!/(n!*c!)$
Stai inoltre attento a chiamare le cose sempre con lo stesso nome.
Nel primo post il numero dei lanci era m, nel secondo e' diventato n. Questo crea un po' di confusione.
Se avessi utilizzato la stessa notazione, ti saresti accorto dell'identita' dei risultati.

[eafkuor1]

"cheguevilla":
Nel primo post il numero dei lanci era m, nel secondo e' diventato n. Questo crea un po' di confusione.
Se avessi utilizzato la stessa notazione, ti saresti accorto dell'identita' dei risultati.

si, hai ragione, chiedo perdono