$exists a,b in NN$ con $b>2$ tali che $2^b-1|2^a+1$?

[Mistral2]

Come da oggetto dimostrare se la proposizione sotto è vera o falsa.

$exists a,b in NN$ con $b>2$ tali che $2^b-1|2^a+1$

Posto la soluzione su richiesta condivisa.

Saluti

Mistral

PS $c|d$ vuol dire che $c$ divide $d$.

[Pachito1]

b=7, a=1

[Mistral2]

"Pachito":b=7, a=1

cioè $2^7-1=127$ divide $2+1=3$?

Mi sembra non funzioni.

[Pachito1]

Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
$2^8-1=255$ che è divisibile per $2+1=3$ e $2^2+1=5$
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo $2^(2n)-1$ siano divisibili per $2^1+1=3$
tutti i numeri del tipo $2^(4n)-1$ siano divisibili per $2^2+1=5$
tutti i numeri del tipo $2^(6n)-1$ siano divisibili per $2^3+1=9$
....
tutti i numeri del tipo $2^(2kn)-1$ siano divisibili per $2^k+1$
Qualcuno vuole dimostrarlo?

[carlo232]

"Pachito":Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
$2^8-1=255$ che è divisibile per $2+1=3$ e $2^2+1=5$
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo $2^(2n)-1$ siano divisibili per $2^1+1=3$
tutti i numeri del tipo $2^(4n)-1$ siano divisibili per $2^2+1=5$
tutti i numeri del tipo $2^(6n)-1$ siano divisibili per $2^3+1=9$
....
tutti i numeri del tipo $2^(2kn)-1$ siano divisibili per $2^k+1$
Qualcuno vuole dimostrarlo?

Basta sapere che se $d$ divide $n$ allora $a^d-b^d$ divide $a^n-b^n$.
Ne ho parlato in "Un problema simpatico" in "Giochi logico matematici e gara".

Ciao!

[Mistral2]

"Pachito":Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
$2^8-1=255$ che è divisibile per $2+1=3$ e $2^2+1=5$
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo $2^(2n)-1$ siano divisibili per $2^1+1=3$
tutti i numeri del tipo $2^(4n)-1$ siano divisibili per $2^2+1=5$
tutti i numeri del tipo $2^(6n)-1$ siano divisibili per $2^3+1=9$
....
tutti i numeri del tipo $2^(2kn)-1$ siano divisibili per $2^k+1$
Qualcuno vuole dimostrarlo?

$2^b-1$ deve dividere $2^a+1$ e non viceversa....insomma quello con - deve dividere quello con +. Non so più come dirlo e mi faccio un pò di paranoie ${2^a+1}/{2^b-1}$ deve essere intero per $b>2$ !!!!

Mi sembra che il testo del problema dica questo, avevo messo il PS apposta . Forza carlo23 e tutti mi aspetto una bella soluzione !!!...del problema intendo

Saluti

Mistral

[Pachito1]

Arioops!
"Cuiusvis est errare: nullius nisi insipientis, in errore perseverare"
La proposizione $exists a,b in NN$ con $b>2$ tali che $2^b-1|2^a+1$ è falsa.
Basta considerare la forma binaria di $2^a+1$=1000.....0001 (in tutto a cifre) e $2^b-1$=111..111 (in tutto b-1 cifre) e provare a fare la divisione.
Le divisioni parziali daranno sempre resto 1 eccetto l'ultima che sarà della forma 100...001 con un numero di cifre minori o uguali ad b-1. Quest'ultima è dunque certamente minore del divisore (cioè è un resto diverso da 0).

[Mistral2]

"Pachito":Arioops!
"Cuiusvis est errare: nullius nisi insipientis, in errore perseverare"
La proposizione $exists a,b in NN$ con $b>2$ tali che $2^b-1|2^a+1$ è falsa.
Basta considerare la forma binaria di $2^a+1$=1000.....0001 (in tutto a cifre) e $2^b-1$=111..111 (in tutto b-1 cifre) e provare a fare la divisione.
Le divisioni parziali daranno sempre resto 1 eccetto l'ultima che sarà della forma 100...001 con un numero di cifre minori o uguali ad b-1. Quest'ultima è dunque certamente minore del divisore (cioè è un resto diverso da 0).

Bingo...!