Esercizio numeri irrazionali
L’esercizio è questo
Di un numero reale si hanno le seguenti informazioni:
1) è compreso tra 0 e 1, e tutte le sue cifre sono 0 oppure 1
2) è irrazionale ed il suo quadrato è anch’esso irrazionale
3) addizionato al numero che si ottiene scambiando ogni cifra 0 con la cifra 1 e viceversa dà come risultato il numero razionale 10/9
Dimostrare che esistono infiniti numeri che rispondono a questa caratteristiche e individuarne alcuni.
Ho difficoltà a verificare il 2° punto dove si richiede che anche il quadrato del numero è irrazionale.
SOS SOS
n+1 Grazie
Di un numero reale si hanno le seguenti informazioni:
1) è compreso tra 0 e 1, e tutte le sue cifre sono 0 oppure 1
2) è irrazionale ed il suo quadrato è anch’esso irrazionale
3) addizionato al numero che si ottiene scambiando ogni cifra 0 con la cifra 1 e viceversa dà come risultato il numero razionale 10/9
Dimostrare che esistono infiniti numeri che rispondono a questa caratteristiche e individuarne alcuni.
Ho difficoltà a verificare il 2° punto dove si richiede che anche il quadrato del numero è irrazionale.
SOS SOS
n+1 Grazie
Risposte
Un'esempio è $0,101001000100001....$
ma come si fa ad esser certi che il quadrato di questo numero è irrazionale?
Gli ho dato un'occhiata... Anche io non capisco bene che cosa intenda lui per irrazionale... Ammettiamo di avere $0.01001...$
Se ci sommo al posto degli $0$ gli $1$ e viceversa ottengo:
$0.01001... + 1.10110... = 1.11111...$
Fine si ottiene sempre $10/9$
Questo numero, $0.01001...$ è lungo a piacere e di conseguenza si può dire che è lungo all'infinito ed è composto solamente da $0$ 0 $1$ e pare dunque che sia irrazionale, benchè la somma con il suo "complementare" sia sempre $10/9$.
A me piacciono questo tipo di numeri con $11$, ad esempio:
$1/11 = 0,0909090909...$
$10/11 = 0,909090909090909...$
Si può benissimo vedere che sono complementari e la somma è semplicemente $1$.
Se ci sommo al posto degli $0$ gli $1$ e viceversa ottengo:
$0.01001... + 1.10110... = 1.11111...$
Fine si ottiene sempre $10/9$
Questo numero, $0.01001...$ è lungo a piacere e di conseguenza si può dire che è lungo all'infinito ed è composto solamente da $0$ 0 $1$ e pare dunque che sia irrazionale, benchè la somma con il suo "complementare" sia sempre $10/9$.
A me piacciono questo tipo di numeri con $11$, ad esempio:
$1/11 = 0,0909090909...$
$10/11 = 0,909090909090909...$
Si può benissimo vedere che sono complementari e la somma è semplicemente $1$.
Chiarisco di nuovo il problema.
E' evidente che un numero del tipo
0.10100100010000100000100000..... è irrazionale (che vuol dire semplicemte che è decimale illimitato e non periodico sicchè non si può scrivere come frazione)
così come lo sono:
0.10110011100011110000
0.110011110000111111110000000
ed infiniti altri
La questione:
come si fa a sapere che il quadrato di questo numero è irrazionale?
E' evidente che un numero del tipo
0.10100100010000100000100000..... è irrazionale (che vuol dire semplicemte che è decimale illimitato e non periodico sicchè non si può scrivere come frazione)
così come lo sono:
0.10110011100011110000
0.110011110000111111110000000
ed infiniti altri
La questione:
come si fa a sapere che il quadrato di questo numero è irrazionale?
Ahhh forse dunque ho capito. Praticamente ammettiamo di avere un radicale di qualsiasi indice ad esempio la radice cubica: se la elevo al quadrato ottengo sempre un numero irrazionale (radicale) o un numero non irrazionale e dunque razionale. Ottengo un numero interno quando elevo un radicale all'ennesima potenza dei divisori dell'indice della radice. Quindi se ho la radice sesta di 2, se elevo questo numero 3 volte al quadrato o due volte al cubo, ottengo 2. Tutto questo discorso per nulla però... Non ho la minima idea per come fare... 
Appunto.. Puoi essere sicuro che un numero elevato al quadrato sia irrazionale semplicemente ammettendo che il numero stesso sia sotto una radice dall'indice diverso da 2..
certo, solo che io conosco questo numero solo come allinemento decimale fatto di 1 e di 0 e non posso sapere che sia una radice quarta.
Via riproviamoci... Secondo me un numero che ha una parte decimale illimitata che è possibile definire "a piacere" e dunque non vi è un criterio razionale o razionalizzabile, ma il puro arbitrio e dunque ogni operazione compiuta su questo numero è sempre irrazionale, fino a prova contraria 
Secondo te una operazione con un numero irrazionale da sempre un numero irrazionale.
Il quadrato della radice di 2 (che ha tutte le caratteristiche del tuo caso) invece è razionale.
Il quadrato della radice di 2 (che ha tutte le caratteristiche del tuo caso) invece è razionale.
Cavolo è vero! 
Aspetta il fatto che il quadrato sia irrazionale è dato da ipotesi, cioè si sa che tale numero è così. a questo punto devi solo imporre la questione, insieme alle altre ipotesi, dimostrando che i numeri fatto in quel modo sono infiniti!! Ho per caso frainteso il tuo dubbio?
@Bosch: il problema sollevato da silente si manifesta nella costruzione delle istanze del problema. I.e., nel momento in cui si tratta di individuare alcuni / infiniti esemplari $x \in RR$ per cui le condizioni poste nella consegna del quesito sono soddisfatte in senso attuale. Una possibile soluzione consiste, per es., nel dimostrare che la costante di Liouville $c = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{10^{k!}}$ è trascendente su $QQ$.
EDIT: avevo scordato un segno di fattoriale.
EDIT: avevo scordato un segno di fattoriale.
Dimostrare la trascendenza su $QQ$ della costante di Liouville non è troppo difficile, per cui si può ancora discuterne sul forum - pur di ammettere, senza darne prova, il fatto che ogni numero di Liouville è trascendente sul campo razionale.
Per ogni intero $n \ge 1$, infatti, siano $p_n = \sum_{k=1}^n 10^{n!-k!}$ e $q_n = 10^{n!}$. Allora $|c-\frac{p_n}{q_n}| = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{10^{k!}} < \frac{1}{10^{n \cdot n!}} = \frac{1}{q_n^n}$. Pertanto $c$ è un numero di Liouville. []
Per ogni intero $n \ge 1$, infatti, siano $p_n = \sum_{k=1}^n 10^{n!-k!}$ e $q_n = 10^{n!}$. Allora $|c-\frac{p_n}{q_n}| = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{10^{k!}} < \frac{1}{10^{n \cdot n!}} = \frac{1}{q_n^n}$. Pertanto $c$ è un numero di Liouville. []
Tanto per curiosità: l'esercizio l'ho trovato sul libro per la 1° classe. Ma?
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