Esercizio 18 Semifinali Bocconi 2020

[peppe_89-votailprof]

Salve a tutti,
ho partecipato alle semifinali online dei giochi della Bocconi, e l'unico esercizio che proprio non sono riuscito ad impostare è l'ultimo, il numero 18.
Vi posto il testo, qualcuno è disposto a ragionarci un po' insieme?

Angelo, Giorgio e Marco hanno deciso di sfidarsi in un duello a tre con la pistola. Si collocano ai vertici di un triangolo equilatero e, dopo aver estratto a sorte l’ordine con cui spareranno, tirano a turno un solo colpo per ciascuno finché due di loro sono morti. Angelo non sbaglia mai un colpo, Giorgio raggiunge 5 volte su 6 il bersaglio mentre Marco è il meno capace dei tre. Naturalmente, ciascuno di loro adotta la migliore strategia per salvare la pelle scegliendo ogni volta l’avversario al quale indirizzare il colpo. Ognuno dei tre può anche eventualmente tirare in aria, se questa fosse per lui la migliore strategia. Con queste regole si trova che è Marco paradossalmente ad avere la maggior probabilità di sopravvivere.
Quanto vale al minimo questa probabilità (espressa sotto forma di una frazione irriducibile del tipo a/b)?

[axpgn]

È una delle tante varianti di un problema ormai classico: il triello

Si può impostare il ragionamento così (però i conti li fai tu ) ...

Se inizia Angelo, sparerà a Giorgio perché è il più pericoloso per lui e quindi è sicuro di eliminarlo, successivamente Marco sparerà ad Angelo con una probabilità $p>1/2$.
Se inizia Giorgio, farà lo stesso ragionamento di Angelo e gli sparerà, solo che in questo caso Angelo ha una probabilità di $1/6$ di sopravvivere quindi Marco si troverà davanti Giorgio cinque volte su sei mentre in un caso su sei deciderà di sparare ad Angelo perché, dato che poi toccherà ad Angelo (che sparerà sicuramente a Giorgio) se sparasse a Giorgio e lo prendesse poi Angelo sicuramente lo eliminerebbe.
Se inizia Marco, farebbe quanto detto sopra.
Adesso fai i conti

Cordialmente, Alex

[peppe_89-votailprof]

Mi sono bloccato nel caso in cui cominciasse marco.
Siamo sicuri che la strategia migliore sia sparare ad A?
Nel caso in cui il colpo andasse a buon fine, allora toccherebbe a Giorgio che spara a Marco e colpisce con probabilità 5/6.
Se invece Marco sceglie di sparare in aria, allora A spara a Giorgio, colpendolo, e successivamente Marco spara ad A, colpendolo con la sua probabilità p ignota

[axpgn]

In effetti per Marco è meglio così, anche se non sai se dopo Marco tocca ad Angelo … però … però questa possibilità di "sparare in aria", pur ammessa dal problema, è un po' contradditoria in quanto, di fatto, cambia la probabilità di ciascuno (ed in modo arbitrario).
IMHO

[Studente Anonimo]

"axpgn": è un po' contradditoria in quanto, di fatto, cambia la probabilità di ciascuno (ed in modo arbitrario).
IMHO

Non sono d'accordo in quanto vi è scritto: "Naturalmente, ciascuno di loro adotta la migliore strategia per salvare la pelle". Sappiamo qual è l'obiettivo che i soggetti vogliono raggiungere, non vedo arbitrarietà.

[peppe_89-votailprof]

"anonymous_f3d38a":[quote="axpgn"] è un po' contradditoria in quanto, di fatto, cambia la probabilità di ciascuno (ed in modo arbitrario).
IMHO

Non sono d'accordo in quanto vi è scritto: "Naturalmente, ciascuno di loro adotta la migliore strategia per salvare la pelle". Sappiamo qual è l'obiettivo che i soggetti vogliono raggiungere, non vedo arbitrarietà.[/quote]


Concordo che per ognuno esista sicuramente una strategia migliore, il problema è individuarla!

Per quanto riguarda non sapere se dopo Marco c'è Angelo o Giorgio, abbiamo 3 probabili ordini, ognuno con probabilità 1/6
A G M
A M G
G A M
G M A
M A G
M G A

Quindi si dovrebbe vedere la probabilità di sopravvivenza di ognuno dei tre concorrenti in ognuno dei 6 casi, adottando per ognuno di loro la strategia migliore!
Poi si fa la somma pesata delle probabilità di A, G, M nei 6 casi equiprobabili (sommando e dividendo per 6) e impongo che P(M) > P(A) e P(M) > P(G), da cui si trova probabilmente la probabilità minima per Marco, che è quella richiesta dal testo.

Ma... mi sono perso sui conti e sulle troppe ramificazioni del percorso logico

[axpgn]

@anonymous_f3d38a
Ho scritto che cambia la probabilità di ciascuno in modo arbitrario e questo è vero perché la probabilità di cui parla il testo è "solamente" quella di colpire l'avversario non quella della scelta che farà

"peppe_89":Ma... mi sono perso sui conti …

Te l'ho detto che i conti devi farli tu

[peppe_89-votailprof]

"axpgn":@anonymous_f3d38a
Ho scritto che cambia la probabilità di ciascuno in modo arbitrario e questo è vero perché la probabilità di cui parla il testo è "solamente" quella di colpire l'avversario non quella della scelta che farà

[quote="peppe_89"]Ma... mi sono perso sui conti …

Te l'ho detto che i conti devi farli tu [/quote]

A me sembra che il testo chieda la probabilità di sopravvivere, non quella di colpire.
Più che perdermi sui conti, mi sono perso sull'impostazione dei conti, non sullo svolgimento

[axpgn]

Certo, ma quella che ti da è la probabilità di colpire mentre quella di sopravvivere dipende dalla strategia scelta e quella dipende dalle scelte fatte dalle persone ed è arbitraria
Che ti "perdi sui conti" l'hai scritto tu mica io

[peppe_89-votailprof]

"axpgn":Certo, ma quella che ti da è la probabilità di colpire mentre quella di sopravvivere dipende dalla strategia scelta e quella dipende dalle scelte fatte dalle persone ed è arbitraria
Che ti "perdi sui conti" l'hai scritto tu mica io

Se, per ipotesi, ogni partecipante attua la strategia che massimizza le probabilità di vittoria, allora la scelta non è più arbitraria

[axpgn]

Ho provato a schematizzare un po' la situazione, vedi se ti può essere utile …

Ci sono quindici stati, anzi sedici con lo stato di partenza $S$ e sarebbero
$a=\text(AGM)$
$b=\text(AMG)$
$c=\text(GAM)$
$d=\text(GMA)$
$e=\text(MAG)$
$f=\text(MGA)$
$g=\text(AG)$
$h=\text(AM)$
$i=\text(GA)$
$j=\text(GM)$
$k=\text(MA)$
$l=\text(MG)$
$m=\text(A)$
$n=\text(G)$
$o=\text(M)$
e i "percorsi" possibili dovrebbero essere questi
$S->1/6*a->1*k$
$S->1/6*b->1*k$
$S->1/6*c->1/6*b$
$S->1/6*c->5/6*l$
$S->1/6*d->1/6*e$
$S->1/6*d->5/6*l$
$S->1/6*e->1*a$
$S->1/6*f->1*c$
$g->1*m$
$h->1*m$
$i->1/6*g$
$i->5/6*n$
$j->1/6*l$
$j->5/6*n$
$k->(1-p)*h$
$k->p*o$
$l->(1-p)*j$
$l->p*o$
$m->m$
$n->n$
$o->o$

S.E.&O.

Cordialmente, Alex

[peppe_89-votailprof]

"axpgn":Ho provato a schematizzare un po' la situazione, vedi se ti può essere utile …

Ci sono quindici stati, anzi sedici con lo stato di partenza $S$ e sarebbero
$a=\text(AGM)$
$b=\text(AMG)$
$c=\text(GAM)$
$d=\text(GMA)$
$e=\text(MAG)$
$f=\text(MGA)$
$g=\text(AG)$
$h=\text(AM)$
$i=\text(GA)$
$j=\text(GM)$
$k=\text(MA)$
$l=\text(MG)$
$m=\text(A)$
$n=\text(G)$
$o=\text(M)$
e i "percorsi" possibili dovrebbero essere questi
$S->1/6*a->1*k$
$S->1/6*b->1*k$
$S->1/6*c->1/6*b$
$S->1/6*c->5/6*l$
$S->1/6*d->1/6*e$
$S->1/6*d->5/6*l$
$S->1/6*e->1*a$
$S->1/6*f->1*c$
$g->1*m$
$h->1*m$
$i->1/6*g$
$i->5/6*n$
$j->1/6*l$
$j->5/6*n$
$k->(1-p)*h$
$k->p*o$
$l->(1-p)*j$
$l->p*o$
$m->m$
$n->n$
$o->o$

S.E.&O.

Cordialmente, Alex

Il tuo suggerimento è stato determinante nel convincermi a rifare i conti per poi scoprire che... avevo fatto giusto durante i test ma avevo sbagliato l'ultimo passaggio.
Faccio tutto pulito con delle immagini e posto il procedimento

[axpgn]

@peppe_89
[ot]Consiglio: non rispondere citando i messaggi per intero, è inutile e fastidioso, a maggior ragione se è il messaggio appena precedente.
Usa il tasto "CITA" per quotare parti di testo che ritieni assolutamente necessarie.
Per quanto riguarda le immagini se riuscissi ad evitarle sarebbe meglio perché prima o poi spariscono, se puoi fare qualche schemino sarebbe la cosa migliore.
Comunque, per inserirle usa il tasto "Aggiungi immagine" nel form di risposta, non usare link esterni.

Grazie [/ot]

Cordialmente, Alex

[peppe_89-votailprof]

Lo schema è il seguente:



E può essere semplificato così, eliminando gli stati la cui uscita è con probabilità 1 verso un altro stato:



Calcoliamo le probabilità di vincita dei tre partecipanti (c'è da calcolare la somma di una serie geometrica):



Tanto per avere una (parziale) conferma delle correttezza delle tre probabilità, si può vedere che la somma delle tre probabilità fa 1

Imponiamo che la probabilità di vittoria di Marco sia maggiore della probabilità di vittoria sia di Angelo che di Giorgio, nella variabile p (probabilità di successo della pistola di Marco)



Affinché Marco vinca, deve valere p >= 5/14
Nei giochi, ho risposto 5/14

Peccato che venisse chiesta non la probabilità di successo della pistola, ma la probabilità di vittoria.

Sostituendo p=5/14 in P(M), o in P(A) si ottiene facilmente 3/8, che è la risposta corretta

[axpgn]

Bello!

Ma hai fatto tutto questo alla prova?

Ho capito cosa mi mancava, non sapevo come gestire l'avanti e indietro tra $j$ e $l$ …
In pratica, lo consideri un numero infinito di volte e siccome il risultato è "finito" si può ottenere qualcosa di concreto ...

Bravo!

Cordialmente, Alex

[peppe_89-votailprof]

Sì, ho fatto tutto questo ma poi ho dato come risposta 5/14

[axpgn]

Va beh, capita … consolati, che hai fatto un gran bel lavoro

Cordialmente, Alex