Esercizi per chi vuole andare alla... Anormale
1)Determinare tutte le radici reali della seguente equazione:
$sqrt(3x^2-18x+52)+sqrt(2x^2-12x+162)=sqrt(-x^2+6x+280)$
Naturalmente c'e' una strada velocissima....
2)Determinare le soluzioni intere dell'equazione:
$p*(x+y)=x*y$
dove p e' u numero primo.
3)Provare che e' esattamente:
$ sin^2(20°)+sin^2(40°)+sin^2(60°)+sin^2(80°)=9/4 $
Ovviamente senza calcolatrice!
karl
$sqrt(3x^2-18x+52)+sqrt(2x^2-12x+162)=sqrt(-x^2+6x+280)$
Naturalmente c'e' una strada velocissima....
2)Determinare le soluzioni intere dell'equazione:
$p*(x+y)=x*y$
dove p e' u numero primo.
3)Provare che e' esattamente:
$ sin^2(20°)+sin^2(40°)+sin^2(60°)+sin^2(80°)=9/4 $
Ovviamente senza calcolatrice!
karl
Risposte
I esercizio . La soluzione è $x = 3 $ .
Si verifica facilmente che il primo e il secondo radicale sono definiti per qualunque valore di x , mentre il terzo radicale è definito per $ -14 =< x =< 20 $.
Eventuali soluzioni reali dell'equazione dovranno quindi essere contenute nell'intervallo $ [-14,20] $.
Riscrivo il primo e il secondo radicando usando il metodo del completamento del quadrato e quindi come somma di due quadrati :
I)$ (sqrt(3)x-(9/sqrt(3)))^2+5^2$
II)$(sqrt(3)x-(9/sqrt(3)))^2+12^2 $
Lo stesso valore $ x=3 $ annulla i quadrati sia del primo che del secondo radicale e riduce il primo membro dell'equazione data a : $5+12=17 $.E' facile verificare che il secondo membro dell'equazione , per $ x= 3 $ assume appunto il valore di 17 e quindi $x = 3$ è soluzione dell'equazione.
Si verifica facilmente che il primo e il secondo radicale sono definiti per qualunque valore di x , mentre il terzo radicale è definito per $ -14 =< x =< 20 $.
Eventuali soluzioni reali dell'equazione dovranno quindi essere contenute nell'intervallo $ [-14,20] $.
Riscrivo il primo e il secondo radicando usando il metodo del completamento del quadrato e quindi come somma di due quadrati :
I)$ (sqrt(3)x-(9/sqrt(3)))^2+5^2$
II)$(sqrt(3)x-(9/sqrt(3)))^2+12^2 $
Lo stesso valore $ x=3 $ annulla i quadrati sia del primo che del secondo radicale e riduce il primo membro dell'equazione data a : $5+12=17 $.E' facile verificare che il secondo membro dell'equazione , per $ x= 3 $ assume appunto il valore di 17 e quindi $x = 3$ è soluzione dell'equazione.
Ok,Camillo.
Volendo si puo' anche scrivere ciascun radicando senza il $sqrt3$,ma
si tratta di dettagli .
karl
Volendo si puo' anche scrivere ciascun radicando senza il $sqrt3$,ma
si tratta di dettagli .
karl
"karl":
Ok,Camillo.
Volendo si puo' anche scrivere ciascun radicando senza il $sqrt3$,ma
si tratta di dettagli .
karl
Quasi quasi ci faccio un pensierino per la Normale: beh ormai l'anno prossimo !! 
Per la 3 basta togliere tutti quei seni al quadrato applicando la terza formula di Werner... si ottenengono dei coseni che si semplificano con la terza formula di prostaferesi... Sono esonerato dallo scrivere tutti i calcoli?
Vabbè, per questioni di completezza...
Premessa:
Terza formula di Werner: $sinalpha * sinbeta = 1/2 (cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))$
Terza formula di prostaferesi: $cosalpha+cosbeta = 2 cos((alpha+beta)/2) * cos((alpha-beta)/2)$
Dunque...
$sin^2(20°)+sin^2(40°)+sin^2(60°)+sin^2(80°) = 2 - 1/2 * (cos(40°)+cos(80°)+cos(120°)+cos(160°)) =$
$= 9/4 - 1/2 * (cos(40°)+cos(80°)+cos(160°)) = 9/4 - 1/2 * (cos(20°)+cos(160°)) = 9/4 - 1/2 * (2 cos(90°) * cos(70°)) = 9/4$
Per l'esercizio 2 vorrei una conferma... bisogna trovare tutte le coppie $(x,y)$ per le quali sia vera quell'uguaglianza per qualsiasi numero primo p? Però mi sembra assurdo, poiché altrimenti il prodotto $x*y$ andrebbe fattorizzato con tutti i numeri primi...
karl, illuminaci
Vabbè, per questioni di completezza...
Premessa:
Terza formula di Werner: $sinalpha * sinbeta = 1/2 (cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))$
Terza formula di prostaferesi: $cosalpha+cosbeta = 2 cos((alpha+beta)/2) * cos((alpha-beta)/2)$
Dunque...
$sin^2(20°)+sin^2(40°)+sin^2(60°)+sin^2(80°) = 2 - 1/2 * (cos(40°)+cos(80°)+cos(120°)+cos(160°)) =$
$= 9/4 - 1/2 * (cos(40°)+cos(80°)+cos(160°)) = 9/4 - 1/2 * (cos(20°)+cos(160°)) = 9/4 - 1/2 * (2 cos(90°) * cos(70°)) = 9/4$
Per l'esercizio 2 vorrei una conferma... bisogna trovare tutte le coppie $(x,y)$ per le quali sia vera quell'uguaglianza per qualsiasi numero primo p? Però mi sembra assurdo, poiché altrimenti il prodotto $x*y$ andrebbe fattorizzato con tutti i numeri primi...
karl, illuminaci
Nell'esercizio 2 le soluzioni sono ovviamente simmetriche e sono del tipo:
$x=p(p+1) , y=(p+1)$
$x=p(p+1) , y=(p+1)$
@Camillo
Guarda che gli esercizi sono per l' ANORMALE!!
@Per Kroldar
Ottima soluzione.
Per l'altra questione: p e' un primo qualsiasi
@Pachito
Si chiedono anche soluzioni intere negative.
karl
Guarda che gli esercizi sono per l' ANORMALE!!
@Per Kroldar
Ottima soluzione.
Per l'altra questione: p e' un primo qualsiasi
@Pachito
Si chiedono anche soluzioni intere negative.
karl
Le soluzioni negative sono sempre simmetriche e sono del tipo:
$x=-p(p-1) , y=(p-1)$
$x=-p(p-1) , y=(p-1)$
Ci sono anche altre soluzioni: (0,0), (2p,2p).
Vorrei confrontare il mio procedimento col tuo,magari e' lo stesso
Potresti postarlo?
Anche per mostrare agli altri come si e' lavorato.
karl
Vorrei confrontare il mio procedimento col tuo,magari e' lo stesso
Potresti postarlo?
Anche per mostrare agli altri come si e' lavorato.
karl
Ieri pomeriggio mi è capitato di dare
un'occhiata al forum da un internet
point e ho buttato giù qualche nota sui
quesiti di karl.
Riporto qui sotto quella relativa al 2°
problema (perché gli altri, vedo, sono
già stati risolti e illustrati ottimamente).
Pongo:
x = ph
con h intero relativo (ho scelto x ma
potevo preferire y, per la simmetria
dell'equazione la cosa è indifferente).
Sostituisco e ottengo:
y = ph/(h-1) = p[1+1/(h-1)] = p+p/(h-1)
in cui vedo che dev'essere, per garantire
che y sia intero:
h-1 = ±1
oppure:
h-1 = ±p.
Da ciò ricavo:
x = 2p; 0; p(p+1); -p(p-1)
e, nell'ordine:
y = 2p; 0; p+1; p-1,
in accordo con quanto indicato da Pachito
e Karl.
I valori non identici delle incognite, per
ragioni di simmetria, naturalmente possono
essere scambiati fra loro.
Salvo sviste.
un'occhiata al forum da un internet
point e ho buttato giù qualche nota sui
quesiti di karl.
Riporto qui sotto quella relativa al 2°
problema (perché gli altri, vedo, sono
già stati risolti e illustrati ottimamente).
Pongo:
x = ph
con h intero relativo (ho scelto x ma
potevo preferire y, per la simmetria
dell'equazione la cosa è indifferente).
Sostituisco e ottengo:
y = ph/(h-1) = p[1+1/(h-1)] = p+p/(h-1)
in cui vedo che dev'essere, per garantire
che y sia intero:
h-1 = ±1
oppure:
h-1 = ±p.
Da ciò ricavo:
x = 2p; 0; p(p+1); -p(p-1)
e, nell'ordine:
y = 2p; 0; p+1; p-1,
in accordo con quanto indicato da Pachito
e Karl.
I valori non identici delle incognite, per
ragioni di simmetria, naturalmente possono
essere scambiati fra loro.
Salvo sviste.
Hai fatto così anche tu, Karl?
Ciao
Ciao
Il mio ragionamento è stato identico a parte per:
h-1 = ±1 oppure h-1 = ±p
In realtà andrebbe discusso il caso in cui h-1 = ±ap, per il resto è tutto uguale.
h-1 = ±1 oppure h-1 = ±p
In realtà andrebbe discusso il caso in cui h-1 = ±ap, per il resto è tutto uguale.
La soluzione che ho io e' questa.
Si scrive la relazione al seguente modo:
$(p-x)*(p-y)=p^2$
e poiche' p e' primo ,segue che i fattori (p-x) e ( p-y) debbono
essere pari ad uno dei valori:
$+-1,+-p,+-p^2$.
Accoppiando opportunamente questi valori in modo che il loro
prodotto sia $p^2$ si ottengono le coppie (x,y) che risolvono il quesito.
karl
Si scrive la relazione al seguente modo:
$(p-x)*(p-y)=p^2$
e poiche' p e' primo ,segue che i fattori (p-x) e ( p-y) debbono
essere pari ad uno dei valori:
$+-1,+-p,+-p^2$.
Accoppiando opportunamente questi valori in modo che il loro
prodotto sia $p^2$ si ottengono le coppie (x,y) che risolvono il quesito.
karl
@ Karl: Bella!
@ Pachito: L'ipotesi h-1=±ap, secondo me, in realtà
è assorbita dal fatto che deve risultare intero ph/(h-1),
con le due scomposizioni viste (condizione che deve
essere soddisfatta senza dover ricorrere a ulteriori
variabili).
@ Pachito: L'ipotesi h-1=±ap, secondo me, in realtà
è assorbita dal fatto che deve risultare intero ph/(h-1),
con le due scomposizioni viste (condizione che deve
essere soddisfatta senza dover ricorrere a ulteriori
variabili).
Si, sono daccordo, ma ho pensato solo che bisognasse fare un po' attenzione a questo passaggio.
Se $(ph)/(h-1)$ deve risultare intero allora (h-1) è sicuramente multiplo di p e non necessariamente uguale. Potrebbe essere (h-1)=ap per cui la frazione diventa $h/a$. Se h è multiplo di a il numero potrebbe ancora essere intero (ma non lo è).
Se $(ph)/(h-1)$ deve risultare intero allora (h-1) è sicuramente multiplo di p e non necessariamente uguale. Potrebbe essere (h-1)=ap per cui la frazione diventa $h/a$. Se h è multiplo di a il numero potrebbe ancora essere intero (ma non lo è).
Ok, Pachito: ieri ho formulato in maniera poco (molto poco)
chiara il mio pensiero, offuscato ancora dalla bruma mattutina...
Guardando il rapporto ph/(h-1), però, si vede subito che
h ed h-1 son primi fra loro e questo porta direttamente a dire:
o h-1 divide p, oppure h-1 divide h (quindi 1).
L'ipotesi che sia h-1 = ±ap, per qualche a>1, rimane esclusa
immediatamente, per questo non l'ho considerata.
Tuttavia, abbiamo (hai) fatto benissimo a chiarire questo
aspetto.
Grazie e ciao
chiara il mio pensiero, offuscato ancora dalla bruma mattutina...
Guardando il rapporto ph/(h-1), però, si vede subito che
h ed h-1 son primi fra loro e questo porta direttamente a dire:
o h-1 divide p, oppure h-1 divide h (quindi 1).
L'ipotesi che sia h-1 = ±ap, per qualche a>1, rimane esclusa
immediatamente, per questo non l'ho considerata.
Tuttavia, abbiamo (hai) fatto benissimo a chiarire questo
aspetto.
Grazie e ciao
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