Esagono con lati paralleli
Chiedo aiuto per dimostrare la seguente proprietà, trovata casualmente.
Se un esagono ha i lati a due a due paralleli, le tre rette congiungenti i punti medi dei lati opposti passano per uno stesso punto G.
L'ho controllata su numerose figure; ne ho anche tentato una verifica analitica, ma i calcoli diventano così lunghi da rendere quasi certo qualche errore di distrazione (a meno di scorciatoie, ma non ne trovo). Con un esempio numerico, l'analitica dà conferma; le coordinate di G sono brutte, anche se i vertici avevano coordinate intere. Sospetto che G sia il baricentro dell'esagono, ma non saprei dimostrarlo.
Se un esagono ha i lati a due a due paralleli, le tre rette congiungenti i punti medi dei lati opposti passano per uno stesso punto G.
L'ho controllata su numerose figure; ne ho anche tentato una verifica analitica, ma i calcoli diventano così lunghi da rendere quasi certo qualche errore di distrazione (a meno di scorciatoie, ma non ne trovo). Con un esempio numerico, l'analitica dà conferma; le coordinate di G sono brutte, anche se i vertici avevano coordinate intere. Sospetto che G sia il baricentro dell'esagono, ma non saprei dimostrarlo.
Risposte
Poichè i lati opposti sono paralleli, le congiungenti sono tutti assi che si incontrano nel circocentro. Scomponendo l'esagono in 6 triangoli equilateri, ottieni che tutti gli assi che partono dalla base passano per il vertice opposto (che sarebbe il circocentro), quindi tutte le congiungenti dei lati passano per il circocentro (punto G).
Chiaramente non sto a dimostrare che gli assi delle basi dei triangoli equilateri corrispondono a quelli dei lati dell'esagono, ma è scontato (essendo corrispondenti... xD)
Chiaramente non sto a dimostrare che gli assi delle basi dei triangoli equilateri corrispondono a quelli dei lati dell'esagono, ma è scontato (essendo corrispondenti... xD)
@An0nym0us: Certo, se pensi ad un esagono regolare, è normale che le congiungenti siano assi dei lati che si intersecano nel circocentro...
Ma un esagono con le proprietà richieste (ossia avente i lati opposti paralleli) è pure il seguente:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
noaxes();
path([[0,3],[2,3],[3,2],[0,-3],[-2,-3],[-3,-2],[0,3]]);[/asvg]
che non è regolare e nemmeno è inscrivibile in una circonferenza.
Ma un esagono con le proprietà richieste (ossia avente i lati opposti paralleli) è pure il seguente:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
noaxes();
path([[0,3],[2,3],[3,2],[0,-3],[-2,-3],[-3,-2],[0,3]]);[/asvg]
che non è regolare e nemmeno è inscrivibile in una circonferenza.
Grazie per la segnalazione; dovrò però studiarmela con calma, un po' per la mia limitatissima conoscenza dell'inglese e un po' perchè già le prime tre righe mi fanno tremare: si parla di piano proiettivo (ahi!), dei punti R, S, T (che non vedo in figura) e dell'inverso del teorema di Pascal (cosa dice?). Comunque non dispero di decifrarla e mi conforta sapere che realmente la proprietà esiste; come ho scritto, io l'avevo solo controllata in alcuni esempi e, in seguito, mi era pure venuto il dubbio che l'ipotesi non fosse necessaria o almeno fosse anche troppo restrittiva.
Il problema resta comunque aperto per chi ne trovasse una soluzione più facile.
@gugo82: giusto quello che dici; io pensavo ad un esagono anche peggiore del tuo, con lati opposti di lunghezza diversa fra loro.
Il problema resta comunque aperto per chi ne trovasse una soluzione più facile.
@gugo82: giusto quello che dici; io pensavo ad un esagono anche peggiore del tuo, con lati opposti di lunghezza diversa fra loro.
@giammaria: Beh, sì, qualcosa tipo quello nell'articolo linkato da FP... Ma disegnarlo senza fare troppi conti era impossibile! 
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