Equilibrio stabile
Propongo un semplice problema di statica.
Una semisfera omogenea è in equilibrio su una superficie semisferica di raggio 1 metro. Trovare le condizioni di equilibrio, nell'ipotesi che l'attrito sia sufficiente a prevenire lo slittamento, nel caso che la semisfera superiore sia appoggiata con la parte piana o con la parte sferica.
Buone feste a tutti!
Una semisfera omogenea è in equilibrio su una superficie semisferica di raggio 1 metro. Trovare le condizioni di equilibrio, nell'ipotesi che l'attrito sia sufficiente a prevenire lo slittamento, nel caso che la semisfera superiore sia appoggiata con la parte piana o con la parte sferica.
Buone feste a tutti!
Risposte
Accetto volentieri l'invito a risolvere questo problema 
Comincio con il caso in cui la semisfera superiore sia poggiata dal lato della superficie sferica. L'ipotesi è quella del puro rotolamento.
Ho indicato con "a" l'angolo (in radianti) che la verticale forma con la retta congiungente il centro della sfera di appoggio con il punto di contatto tra le due superfici sferiche. Inoltre ho indicato con "r" end "R" rispettivamente i raggi della semisfera superiore e della semisfera di appoggio.
L'equilibrio sarà stabile fintanto che il momento della forza peso rispetto al punto di appoggio tra le due semisfere sia tale da riportare la semisfera nella sua posizione di partenza. La condizione limite è dunque determinata dall'annullarsi di tale momento stabilizzante. Dopo aver studiato la cinematica del problema ho determinato in funzione del suddetto angolo "a" le coordinate del punto di appoggio e del baricentro della semisfera superiore avendo assunto come sistema di riferimento una coppia d'assi aventi origine nel centro della sfera di appoggio, asse "y" coincidente con l'asse di simmetria della semisfera di appoggio (verticale) e come asse "x" un asse orizzontale. Le coordinate del punto di appoggio sono:
xc=R*Sin(a)
yc=R*Cos(a)
mentre le coordinate del baricentro sono:
xg=(R+r)*Sin(a)-(3r/8)*Sin(a+a*R/r)
yg=(R+r)*Cos(a)-(3r/8)*Cos(a+a*R/r)
La condizione al limite di equilibrio sarà data dalla relazione xc=xg la quale fornisce l'equazione in "a":
Sin(a)-(3/8)*Sin(a+a*R/r)=0
la cui soluzione insieme con le coordinate di "c" fornisce la posizione limite del punto di contatto tra le due semisfere oltre la quale la sfera non tornerà più nella posizione iniziale.
Nel caso in cui R=100 cm e r=50 cm la suddetta equazione ammette come soluzione:
a=0.292843 rad (ovvero 16°46'43")
Occorre però puntualizzare un aspetto importante del problema. Affinché la suddetta soluzione risulti valida il cinematismo deve essere piano. Infatti se durante lo spostamento della semisfera superiore si dovessero verificare anche leggere torsioni rispetto al punto di appoggio, tutta la vicenda si complicherebbe enormemente.
Il secondo caso, cioè il caso in cui la semisfera superiore sia poggiata dal lato piano, ritengo sia un tantino più delicato. Comincio col dire che il procedimento adottato è lo stesso del caso precedente. Cambia solo il cinematismo. Fermo restando il significato dei simboli stavolta l'equazione risolvente che ho ottenuto è:
(3r/8)*Sin(a)-R*a*Cos(a)=0
c'è però il seguente problema: "a" non può eccedere il valore r/R; Infatti per a=r/R la semisfera superiore arriva al bordo. A questo punto il cinematismo cambia e la suddetta relazione smette di valere. La semisfera superiore si "impunta" come nel salto con l'asta e tutto ruota attorno ad un punto di appoggio fisso (sempre nell'ipotesi in cui non ci siano slittamenti). Per R=100 cm e r=50 cm è proprio questo il caso che si verifica.
Questo è quanto ottenuto. Fatemi sapere se ho commesso degli errori.
Cordiali Saluti,
Marcello
P.S. Mi scuso per eventuali errori grammaticali. Ho scritto di getto senza ricontrollare il testo
Comincio con il caso in cui la semisfera superiore sia poggiata dal lato della superficie sferica. L'ipotesi è quella del puro rotolamento.
Ho indicato con "a" l'angolo (in radianti) che la verticale forma con la retta congiungente il centro della sfera di appoggio con il punto di contatto tra le due superfici sferiche. Inoltre ho indicato con "r" end "R" rispettivamente i raggi della semisfera superiore e della semisfera di appoggio.
L'equilibrio sarà stabile fintanto che il momento della forza peso rispetto al punto di appoggio tra le due semisfere sia tale da riportare la semisfera nella sua posizione di partenza. La condizione limite è dunque determinata dall'annullarsi di tale momento stabilizzante. Dopo aver studiato la cinematica del problema ho determinato in funzione del suddetto angolo "a" le coordinate del punto di appoggio e del baricentro della semisfera superiore avendo assunto come sistema di riferimento una coppia d'assi aventi origine nel centro della sfera di appoggio, asse "y" coincidente con l'asse di simmetria della semisfera di appoggio (verticale) e come asse "x" un asse orizzontale. Le coordinate del punto di appoggio sono:
xc=R*Sin(a)
yc=R*Cos(a)
mentre le coordinate del baricentro sono:
xg=(R+r)*Sin(a)-(3r/8)*Sin(a+a*R/r)
yg=(R+r)*Cos(a)-(3r/8)*Cos(a+a*R/r)
La condizione al limite di equilibrio sarà data dalla relazione xc=xg la quale fornisce l'equazione in "a":
Sin(a)-(3/8)*Sin(a+a*R/r)=0
la cui soluzione insieme con le coordinate di "c" fornisce la posizione limite del punto di contatto tra le due semisfere oltre la quale la sfera non tornerà più nella posizione iniziale.
Nel caso in cui R=100 cm e r=50 cm la suddetta equazione ammette come soluzione:
a=0.292843 rad (ovvero 16°46'43")
Occorre però puntualizzare un aspetto importante del problema. Affinché la suddetta soluzione risulti valida il cinematismo deve essere piano. Infatti se durante lo spostamento della semisfera superiore si dovessero verificare anche leggere torsioni rispetto al punto di appoggio, tutta la vicenda si complicherebbe enormemente.
Il secondo caso, cioè il caso in cui la semisfera superiore sia poggiata dal lato piano, ritengo sia un tantino più delicato. Comincio col dire che il procedimento adottato è lo stesso del caso precedente. Cambia solo il cinematismo. Fermo restando il significato dei simboli stavolta l'equazione risolvente che ho ottenuto è:
(3r/8)*Sin(a)-R*a*Cos(a)=0
c'è però il seguente problema: "a" non può eccedere il valore r/R; Infatti per a=r/R la semisfera superiore arriva al bordo. A questo punto il cinematismo cambia e la suddetta relazione smette di valere. La semisfera superiore si "impunta" come nel salto con l'asta e tutto ruota attorno ad un punto di appoggio fisso (sempre nell'ipotesi in cui non ci siano slittamenti). Per R=100 cm e r=50 cm è proprio questo il caso che si verifica.
Questo è quanto ottenuto. Fatemi sapere se ho commesso degli errori.
Cordiali Saluti,
Marcello
P.S. Mi scuso per eventuali errori grammaticali. Ho scritto di getto senza ricontrollare il testo
Jeckyll, credo che tu abbia interpretato male il problema.
Tu infatti hai trovato una specifica posizione di equilibrio nel caso r = 0,5 m.
Il problema invece chiede per quali valori di r la semisfera superiore si trova in equilibrio stabile, instabile o indifferente quando è disposta centralmente rispetto alla semisfera sottostante e con la parte piana orizzontale.
Tu infatti hai trovato una specifica posizione di equilibrio nel caso r = 0,5 m.
Il problema invece chiede per quali valori di r la semisfera superiore si trova in equilibrio stabile, instabile o indifferente quando è disposta centralmente rispetto alla semisfera sottostante e con la parte piana orizzontale.
Oops! Grazie MaMo per il chiarimento. In effetti avevo capito tutt’altra cosa.
Provo a dare la risposta richiesta. Le considerazioni circa la cinematica del problema che avevo riportato nel post precedente rimangono comunque valide e ad esse farò di seguito riferimento.
L’equilibrio della semisfera superiore sarà stabile se dopo aver subito un piccolo spostamento questa tornerà nella posizione iniziale. Ciò accadrà se il momento della forza peso (applicata al baricentro) tenderà a stabilizzare la sfera superiore rispetto al punto di contatto tra le due sfere. Per uno spostamento finito tale spostamento sarà univocamente determinato dall’angolo “a” che avevo definito nel precedente post.
Ovviamente in questo caso farò riferimento ad uno spostamento infinitesimo individuato dall’angolo infinitesimo “da”. L’equilibrio sarà stabile finché la coordinata “xc” del punto di contatto tra le due sfere sarà maggiore della coordinata “xg” del baricentro della sfera. In particolare si hanno i seguenti tre casi:
1. xc-xg>0 equilibrio stabile
2. xc-xg=0 equilibrio indifferente
3. xc-xg<0 equilibrio instabile.
Primo caso: la sfera superiore poggia con la superficie curva.
Si ha:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+r)*Sin(a)+(3*r/8)*Sin(a+R*a/r)= (3*r/8)*Sin(a+R*a/r)-r*Sin(a)
se al posto dell’angolo finito “a” sostituisco l’angolo infinitesimo “da”ed utilizzo l’espressione approssimata “Sin(da)=da”, ottengo:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+r)*Sin(a)+(3*r/8)*Sin(a+R*a/r)=(3*r/8)*(1+R /r)*da-r*da
Quindi si ha equilibrio stabile finché risulta xc-xg>0, ovvero finché risulta:
(3*/8)*(1+R /r)–1>0
ovvero finché risulta r<3*R/5. Quindi essendo R=100 cm si ha:
equilibrio stabile se r<60 cm
equilibrio indifferente per r=60 cm
equilibrio instabile per r>60 cm.
Secondo caso: la sfera superiore poggia con la superficie piana.
Si ha:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+3*r/8)*Sin(a)+R*a*Cos(a)= R*a*Cos(a)-(3*r/8)*Sin(a)
Per “a=da” e approssimando “Sin(da)=da” e “Cos(da)=1” si ha:
xc-xg=R*da-(3*r/8)*da
Si ha dunque equilibrio stabile per xc-xg>0, ovvero per r<8*R/3. Quindi per R=100 cm si ha:
equilibrio stabile se r<800/3 cm (circa 266.7 cm)
equilibrio indifferente per r=800/3 cm
equilibrio instabile per r>800/3 cm.
Adesso, salvo errori, dovrebbe andare bene.
Marcello
Provo a dare la risposta richiesta. Le considerazioni circa la cinematica del problema che avevo riportato nel post precedente rimangono comunque valide e ad esse farò di seguito riferimento.
L’equilibrio della semisfera superiore sarà stabile se dopo aver subito un piccolo spostamento questa tornerà nella posizione iniziale. Ciò accadrà se il momento della forza peso (applicata al baricentro) tenderà a stabilizzare la sfera superiore rispetto al punto di contatto tra le due sfere. Per uno spostamento finito tale spostamento sarà univocamente determinato dall’angolo “a” che avevo definito nel precedente post.
Ovviamente in questo caso farò riferimento ad uno spostamento infinitesimo individuato dall’angolo infinitesimo “da”. L’equilibrio sarà stabile finché la coordinata “xc” del punto di contatto tra le due sfere sarà maggiore della coordinata “xg” del baricentro della sfera. In particolare si hanno i seguenti tre casi:
1. xc-xg>0 equilibrio stabile
2. xc-xg=0 equilibrio indifferente
3. xc-xg<0 equilibrio instabile.
Primo caso: la sfera superiore poggia con la superficie curva.
Si ha:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+r)*Sin(a)+(3*r/8)*Sin(a+R*a/r)= (3*r/8)*Sin(a+R*a/r)-r*Sin(a)
se al posto dell’angolo finito “a” sostituisco l’angolo infinitesimo “da”ed utilizzo l’espressione approssimata “Sin(da)=da”, ottengo:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+r)*Sin(a)+(3*r/8)*Sin(a+R*a/r)=(3*r/8)*(1+R /r)*da-r*da
Quindi si ha equilibrio stabile finché risulta xc-xg>0, ovvero finché risulta:
(3*/8)*(1+R /r)–1>0
ovvero finché risulta r<3*R/5. Quindi essendo R=100 cm si ha:
equilibrio stabile se r<60 cm
equilibrio indifferente per r=60 cm
equilibrio instabile per r>60 cm.
Secondo caso: la sfera superiore poggia con la superficie piana.
Si ha:
xc-xg=R*Sin(a)-(R+3*r/8)*Sin(a)+R*a*Cos(a)= R*a*Cos(a)-(3*r/8)*Sin(a)
Per “a=da” e approssimando “Sin(da)=da” e “Cos(da)=1” si ha:
xc-xg=R*da-(3*r/8)*da
Si ha dunque equilibrio stabile per xc-xg>0, ovvero per r<8*R/3. Quindi per R=100 cm si ha:
equilibrio stabile se r<800/3 cm (circa 266.7 cm)
equilibrio indifferente per r=800/3 cm
equilibrio instabile per r>800/3 cm.
Adesso, salvo errori, dovrebbe andare bene.
Marcello
OK! Jeckyll. I tuoi risultati sono corretti.
Il problema si poteva anche risolvere utilizzando la funzione energia potenziale.
Il tipo di equilibrio della semisfera superiore dipende infatti dal fatto che tale funzione, nel punto a = 0, presenti un minimo o un massimo.
Il problema si poteva anche risolvere utilizzando la funzione energia potenziale.
Il tipo di equilibrio della semisfera superiore dipende infatti dal fatto che tale funzione, nel punto a = 0, presenti un minimo o un massimo.
Mamo,dopo l'apprezzabile soluzione di Jekyll,mi piacerebbe
vedere anche la tua:puoi postarmela?
In ogni caso saluti da karl.
vedere anche la tua:puoi postarmela?
In ogni caso saluti da karl.
Karl, ecco la mia soluzione.
Considero solo il caso nel quale sono a contatto le due parti sferiche.
L'energia potenziale della semisfera superiore dipende esclusivamente dalla posizione del suo centro di massa. Essa è:
U(a) = m*g*yg = mg[(R + r)Cos(a) - (3r/8)Cos(a + aR/r)]
La derivata prima di questa funzione rispetto ad a è:
U'(a) = - (R + r)*Sen(a) + (3r/8)*(1 + R/r)*Sen(a + aR/r)
Per a = 0 si ha: U'(0) = 0 per cui per a = 0 si ha un punto stazionario.
La derivata seconda è:
U''(a) = - (R + r)*Cos(a) + (3r/8)*(1 + R/r)^2*Cos(a + aR/r)
Per a = 0 si ha:
U''(0) = - R - r + (3r/8)*(1 + R/r)^2 = [(R + r)*(3R - 5r)]/(24r)
- Per r < 3R/5 si ha U''(0) > 0.
L'energia potenziale ha un minimo e quindi l'equilibrio è stabile.
- Per r = 3R/5 si ha U''(0) = 0.
Il punto a = 0 ha molteplicità 4 per cui si ha equilibrio indifferente.
- Per r > 3R/5 si ha U''(0) < 0.
L'energia potenziale ha un massimo e quindi l'eqilibrio è instabile.
Stesso procedimento si utilizza per il secondo caso.
Considero solo il caso nel quale sono a contatto le due parti sferiche.
L'energia potenziale della semisfera superiore dipende esclusivamente dalla posizione del suo centro di massa. Essa è:
U(a) = m*g*yg = mg[(R + r)Cos(a) - (3r/8)Cos(a + aR/r)]
La derivata prima di questa funzione rispetto ad a è:
U'(a) = - (R + r)*Sen(a) + (3r/8)*(1 + R/r)*Sen(a + aR/r)
Per a = 0 si ha: U'(0) = 0 per cui per a = 0 si ha un punto stazionario.
La derivata seconda è:
U''(a) = - (R + r)*Cos(a) + (3r/8)*(1 + R/r)^2*Cos(a + aR/r)
Per a = 0 si ha:
U''(0) = - R - r + (3r/8)*(1 + R/r)^2 = [(R + r)*(3R - 5r)]/(24r)
- Per r < 3R/5 si ha U''(0) > 0.
L'energia potenziale ha un minimo e quindi l'equilibrio è stabile.
- Per r = 3R/5 si ha U''(0) = 0.
Il punto a = 0 ha molteplicità 4 per cui si ha equilibrio indifferente.
- Per r > 3R/5 si ha U''(0) < 0.
L'energia potenziale ha un massimo e quindi l'eqilibrio è instabile.
Stesso procedimento si utilizza per il secondo caso.
Intervengo a cose fatte per aggiungere un punto di vista.
Non avevo lavorato su questo quesito perchè mi ero impastato su quello analogo del pendolo emisferico sul piano: avevo osservato che la traiettoria del baricentro della mezza sfera mobile è una cicloide abbassata, con raggio di curvatura 25*R/24 (per alfa=0) e mi ero incaponito di sfruttare questo fatto per comporre i movimenti rotatori; non ho cavato un ragno dal buco, credo per mia imperizia (potrebbe qualcuno cercare di risolvere quel problema partendo da quella osservazione ?).
Trovavo anche assai affascinante l'apparente parentela coi pendoli isocroni, appunto a cicloide!
Però quell'approccio può ben essere usato in QUESTO problema, arrivando in modo diverso ad una soluzione i cui passaggi analitici sono poi quelli di tanti altri.
Ecco:
1 - quando la sfera super. rotola su quella infer. ogni suo punto interno (e quindi anche il suo baricentro) percorre un'epicicloide accorciata, le cui equaz. parametriche sono quelle date dai solutori che mi hanno preceduto.
1.1 - tale curva ha delle "bozze" più o meno sporgenti a seconda della posiz. "b" del punto "tracciante" e dei due raggi "r" e "R"
1.2 - se detto punto è vicino al centro del cerchio rotolante, la curva non presenta concavità verso l'esterno, ma è sempre convessa
1.2.1 - (un esempio di tutti i giorni, anzi, di tutte le notti, è la traiettoria della luna intorno al sole, sempre concava verso il sole, anche quando la luna è tra la terra e il sole)
2 - non c'è bisogno di dimostrare qui che una pallina nel fondo di una scodella (concava verso l'alto) è in equilibrio stabile; indiffer. su un piano, instabile su un dosso
3 - se la geometria del problema in esame è tale che l'epicicloide nell'origine sia concava verso l'alto (quindi con curvatura kappa > 0), l'equilibrio sarà stabile.
4 - la curvatura nell'origine è (salvo errori)
kappa = [ R*b + r*(b-1) ] / [ r*(R+r)*(b-1)^2 ] (dove b è un numero: la fraz. di r della posiz. del baric)
4.1 - se b=3/8, allora kappa >/=/< 0 per r 3*R/5
buone feste a tutti.
tony
*Edited by - tony on 27/12/2003 23:59:33
Non avevo lavorato su questo quesito perchè mi ero impastato su quello analogo del pendolo emisferico sul piano: avevo osservato che la traiettoria del baricentro della mezza sfera mobile è una cicloide abbassata, con raggio di curvatura 25*R/24 (per alfa=0) e mi ero incaponito di sfruttare questo fatto per comporre i movimenti rotatori; non ho cavato un ragno dal buco, credo per mia imperizia (potrebbe qualcuno cercare di risolvere quel problema partendo da quella osservazione ?).
Trovavo anche assai affascinante l'apparente parentela coi pendoli isocroni, appunto a cicloide!
Però quell'approccio può ben essere usato in QUESTO problema, arrivando in modo diverso ad una soluzione i cui passaggi analitici sono poi quelli di tanti altri.
Ecco:
1 - quando la sfera super. rotola su quella infer. ogni suo punto interno (e quindi anche il suo baricentro) percorre un'epicicloide accorciata, le cui equaz. parametriche sono quelle date dai solutori che mi hanno preceduto.
1.1 - tale curva ha delle "bozze" più o meno sporgenti a seconda della posiz. "b" del punto "tracciante" e dei due raggi "r" e "R"
1.2 - se detto punto è vicino al centro del cerchio rotolante, la curva non presenta concavità verso l'esterno, ma è sempre convessa
1.2.1 - (un esempio di tutti i giorni, anzi, di tutte le notti, è la traiettoria della luna intorno al sole, sempre concava verso il sole, anche quando la luna è tra la terra e il sole)
2 - non c'è bisogno di dimostrare qui che una pallina nel fondo di una scodella (concava verso l'alto) è in equilibrio stabile; indiffer. su un piano, instabile su un dosso
3 - se la geometria del problema in esame è tale che l'epicicloide nell'origine sia concava verso l'alto (quindi con curvatura kappa > 0), l'equilibrio sarà stabile.
4 - la curvatura nell'origine è (salvo errori)
kappa = [ R*b + r*(b-1) ] / [ r*(R+r)*(b-1)^2 ] (dove b è un numero: la fraz. di r della posiz. del baric)
4.1 - se b=3/8, allora kappa >/=/< 0 per r 3*R/5
buone feste a tutti.
tony
*Edited by - tony on 27/12/2003 23:59:33
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