Equazione...fattoriale

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31 ott 2005, 00:32

propongo un altro quesito
determinare, se esistono, tutte le soluzioni dell'equazione (possibilmente motivando la risposta):
[size=150]x! + y! + z! = t![/size]
[size=150]con x , y , z , t interi positivi[/size]

Risposte

spassky

30 ott 2005, 23:56

Senza troppo rifelttere ( cosa moolto pericolosa) mi son convinto che le infinite soluzioni di quest'equazioni sono n-ple del tipo

[1,1,1,1,1,1,1,....(nvolte)],
[2,2,2,2,2,2,2,....(nvolte)],
e così via per tutti i numeri naturali. (escluso il vettore nullo, perchè altrimenti non vale l'equazione in quanto si avrebbe 1+1+1=1)

Cosa ho combinato ?

Piera4

31 ott 2005, 09:10

l'equazione ha 4 incognite,cosa centrano le n-ple?
se prendi tutti 1
viene 1! + 1! + 1! è diverso da 1!
lo stesso vale per 2
il vettore nullo è escluso anche perchè le variabili sono interi positivi

spassky

31 ott 2005, 12:49

Che stupidaggine colossale...scusami ma probabilmente non ero capace di intendere e di volere quando ho scritto quelle cose....

MaMo2

31 ott 2005, 15:06

Intanto deve essere t > x, y, z.
Si ha inoltre: x! + y! + z! > 2 per cui t > 2
Se t = 3 si ha la soluzione x = y = z = 2.
Consideriamo il caso t > 3. Si ha:
t! = t(t - 1)! > 3(t - 1)!
Questa condizione implica che non vi sono soluzioni per t > 3.
Per cui l'unica soluzione è t =3, x = y = z = 2.

eafkuor1

31 ott 2005, 15:56

"MaMo":

Consideriamo il caso t > 3. Si ha:
t! = t(t - 1)! > 3(t - 1)!
Questa condizione implica che non vi sono soluzioni per t > 3.

scusa ma non dovrebbe essere

t! = t(t - 1)! > 3(3 - 1)!

???

e poi non ho capito l' "implica"

Piera4

31 ott 2005, 19:18

grande MaMo! complimenti!

MaMo2

31 ott 2005, 19:22

"eafkuor":

scusa ma non dovrebbe essere
t! = t(t - 1)! > 3(3 - 1)!
???
e poi non ho capito l' "implica"

Se t > 3, moltiplicando entrambi i membri per il fattore positivo (t - 1)!, la diseguaglianza diventa:
t(t - 1)! > 3(t - 1)!
Essendo poi t > x, y, z, ciò implica che il valore massimo di x, y e z sia t - 1 per cui si ha:
3(t - 1)! >= x! + y! + z!
Essendo perciò t! > 3(t - 1)! >= x! + y! + z! segue l'assunto.