Equazione a due incognite

UmbertoM1
Siano $x,yinZZ$ Determinare tutte le coppie $(x;y)$ che risolvono la seguente equazione:
$x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006$

Risposte
lordb
Cos'è $9y4$ ?

UmbertoM1
$9y^4$, era un errore di battitura

Sk_Anonymous
Penso di aver la soluzione, però prima di postare vorrei una conferma: devono essere solo 2 le coppie che risolvono l'equazione?

xXStephXx

totissimus
Una soluzione immediata è \( x=0, y=\pm 2 \cdot 12^{501}\) e queste sono le uniche soluzioni dell'equazione.

UmbertoM1
Totissimus, ero sicuro che saresti stato tu a dare la risposta giusta. Anche il mio ragionamento era molto simile, ma una volta arrivato a dimostrare che $9a^4+3a^2b^2+b^4=4^2006$, ho riscritto l'equazione come $(3a^2-b^2)^2+(3ab)^2=4^2006$
Poiché è terna pitagorica del tipo $A^2+B^2=C^2$ visto che $C$ non è dispari, allora essa non è primitiva, perciò sia $A$ che $B$ dovevano essere multipli di $4^2006$. Veniva una somma del tipo $A_1^2+B_1^2=1$, ed ovviamente uno tra $A_1$ e $B_1$, quindi uno tra $x$ e $y$ doveva essere $0$

Sk_Anonymous
Sono rincasato un po' in ritardo e sono stato preceduto.
In realtà avevo postato anche subito dopo la risposta di xXStephXx, ma credendo (erroneamente) di aver intuito una soluzione più immediata ho cancellato il post per pensarci un po'.
Posto comunque la soluzione che avevo cancellato, molto simile a quella di totissimus, eccetto per la parte conclusiva.


vittorino70
Una soluzione ...semplificata ma non molto diversa da quelle già postate.
Operando in modulo 3 risulta la congruenza :
\(\displaystyle x^4 \equiv 0 \text{ (mod 3) }\)
Quindi deve esssere \(\displaystyle x=3k \). In particolarte per k=0 si ha x=0 e sostituendo nell'equazione di partenza:
\(\displaystyle y=\pm\sqrt[4]{\frac{12^{2006}}{9}}=\pm 2\cdot 12^{501} \)

UmbertoM1
Così però non hai dimostrato che non esistono altre soluzioni

vittorino70
Mi sono fidato di quello che ha detto xXStephXx :D !

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