Equazione a due incognite
Siano $x,yinZZ$ Determinare tutte le coppie $(x;y)$ che risolvono la seguente equazione:
$x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006$
$x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006$
Risposte
Cos'è $9y4$ ?
$9y^4$, era un errore di battitura
Penso di aver la soluzione, però prima di postare vorrei una conferma: devono essere solo 2 le coppie che risolvono l'equazione?
Sì
Una soluzione immediata è \( x=0, y=\pm 2 \cdot 12^{501}\) e queste sono le uniche soluzioni dell'equazione.
Totissimus, ero sicuro che saresti stato tu a dare la risposta giusta. Anche il mio ragionamento era molto simile, ma una volta arrivato a dimostrare che $9a^4+3a^2b^2+b^4=4^2006$, ho riscritto l'equazione come $(3a^2-b^2)^2+(3ab)^2=4^2006$
Poiché è terna pitagorica del tipo $A^2+B^2=C^2$ visto che $C$ non è dispari, allora essa non è primitiva, perciò sia $A$ che $B$ dovevano essere multipli di $4^2006$. Veniva una somma del tipo $A_1^2+B_1^2=1$, ed ovviamente uno tra $A_1$ e $B_1$, quindi uno tra $x$ e $y$ doveva essere $0$
Poiché è terna pitagorica del tipo $A^2+B^2=C^2$ visto che $C$ non è dispari, allora essa non è primitiva, perciò sia $A$ che $B$ dovevano essere multipli di $4^2006$. Veniva una somma del tipo $A_1^2+B_1^2=1$, ed ovviamente uno tra $A_1$ e $B_1$, quindi uno tra $x$ e $y$ doveva essere $0$
Sono rincasato un po' in ritardo e sono stato preceduto.
In realtà avevo postato anche subito dopo la risposta di xXStephXx, ma credendo (erroneamente) di aver intuito una soluzione più immediata ho cancellato il post per pensarci un po'.
Posto comunque la soluzione che avevo cancellato, molto simile a quella di totissimus, eccetto per la parte conclusiva.
In realtà avevo postato anche subito dopo la risposta di xXStephXx, ma credendo (erroneamente) di aver intuito una soluzione più immediata ho cancellato il post per pensarci un po'.
Posto comunque la soluzione che avevo cancellato, molto simile a quella di totissimus, eccetto per la parte conclusiva.
Una soluzione ...semplificata ma non molto diversa da quelle già postate.
Operando in modulo 3 risulta la congruenza :
\(\displaystyle x^4 \equiv 0 \text{ (mod 3) }\)
Quindi deve esssere \(\displaystyle x=3k \). In particolarte per k=0 si ha x=0 e sostituendo nell'equazione di partenza:
\(\displaystyle y=\pm\sqrt[4]{\frac{12^{2006}}{9}}=\pm 2\cdot 12^{501} \)
Operando in modulo 3 risulta la congruenza :
\(\displaystyle x^4 \equiv 0 \text{ (mod 3) }\)
Quindi deve esssere \(\displaystyle x=3k \). In particolarte per k=0 si ha x=0 e sostituendo nell'equazione di partenza:
\(\displaystyle y=\pm\sqrt[4]{\frac{12^{2006}}{9}}=\pm 2\cdot 12^{501} \)
Così però non hai dimostrato che non esistono altre soluzioni
Mi sono fidato di quello che ha detto xXStephXx
!
