Equazione a due incognite

[UmbertoM1]

Siano $x,yinZZ$ Determinare tutte le coppie $(x;y)$ che risolvono la seguente equazione:
$x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006$

[lordb]

Cos'è $9y4$ ?

[UmbertoM1]

$9y^4$, era un errore di battitura

[Sk_Anonymous]

Penso di aver la soluzione, però prima di postare vorrei una conferma: devono essere solo 2 le coppie che risolvono l'equazione?

[xXStephXx]

Sì

[totissimus]

Una soluzione immediata è \( x=0, y=\pm 2 \cdot 12^{501}\) e queste sono le uniche soluzioni dell'equazione.

L'incognita \(x\) è necessariamente divisibile per \(3\), poniamo quindi \( x=2x_1\) e sostituendo otteniamo:

$81x_1^4+27x_1^2y^2+9y^4=12^{2006}$

$9x_1^4+3x_1^2y^2+y^4=16 \cdot 12^2004$

da cui si vede che anche $y$ deve essere multiplo di \(3\) quindi poniamo $y=3y_1$ e sostituendo otteniamo:

$x_1^4+3x_1^2y_1^2+9y_1^4=4^4 \cdot 12^{2002}$

Iterando il procedimento otteniamo che deve essere:

$x=3^{501}u,y=3^{501}v$

$u^4+3u^2v^2+9v^4=4^{2004}\cdot 12^2$

Si vede che $u$ è multiplo di$3$, quindi poniamo $u=3a,v=b$ e sostituendo

$81a^4+27a^2b^2+9b^4=4^{204}\cdot 12^2$

$9a^4+3a^2b^2+b^4=4^{2006}$

E' facile capire che $a$ e $b$ sono entrambi pari, quindi poniamo $a=2a_1,b=2b_1$ e sostituiamo

$9a_1^4+3a_1^2b_1^2+b_1^4=4^{2004}$

iterando il ragionamento arriviamo alla conclusione che deve essere:

$a=2^{501}r,b=2^{501}s$

$9r^4+3r^2s^2+s^4=16$

da quest'ultima uguaglianza ricaviamo che

$s^4 \leq 16$

$s \leq 2$

Per $s=2$ otteniamo $r=0$

mentre per $s=0,1$ non abbiamo soluzioni intere per $r$

Quindi deve essere$r=a=0$ cioè $x=0$

[UmbertoM1]

Totissimus, ero sicuro che saresti stato tu a dare la risposta giusta. Anche il mio ragionamento era molto simile, ma una volta arrivato a dimostrare che $9a^4+3a^2b^2+b^4=4^2006$, ho riscritto l'equazione come $(3a^2-b^2)^2+(3ab)^2=4^2006$
Poiché è terna pitagorica del tipo $A^2+B^2=C^2$ visto che $C$ non è dispari, allora essa non è primitiva, perciò sia $A$ che $B$ dovevano essere multipli di $4^2006$. Veniva una somma del tipo $A_1^2+B_1^2=1$, ed ovviamente uno tra $A_1$ e $B_1$, quindi uno tra $x$ e $y$ doveva essere $0$

[Sk_Anonymous]

Sono rincasato un po' in ritardo e sono stato preceduto.
In realtà avevo postato anche subito dopo la risposta di xXStephXx, ma credendo (erroneamente) di aver intuito una soluzione più immediata ho cancellato il post per pensarci un po'.
Posto comunque la soluzione che avevo cancellato, molto simile a quella di totissimus, eccetto per la parte conclusiva.

Riscriviamo $x^4+3x^2y^2+9y^4=9^{1003}\cdot 16^{1003}$
$x+3xy+9y\equiv 0\ \ (mod\ 2)$
Per soddisfare questa congruenza $x$ e $y$ devono necessariamente essere entrambi pari
$x=2x_1;\ y=2y_1$
Sostituendo nell'equazione di partenza
$16x_1^4+16\cdot 3x_1^2y_1^2+16\cdot 9y_1^4=9^{1003} 16^{1003}$
quindi
$x_1^4+3x_1^2y_1^2+9y_1^4=9^{1003}\cdot 16^{1003-1}$
Ragionando come prima deve essere
$x_1=2x_2;\ y_1=2y_2\Rightarrow x=2^2x_2;\ y=2^2y_2$
con $x_2$ e $y_2$ soddisfacenti l'equazione
$x_2^4+3x_2^2y_2^2+9y_2^4=9^{1003}\cdot 16^{1003-2}$
Procedendo così si giunge a
$x=2^{1003}X;\ y=2^{1003}Y$
con $X$ e $Y$ soddisfacenti l'equazione
$X^4+3X^2Y^2+9Y^4=9^{1003}$

Dalla congruenza
$X^4+3X^2Y^2+9Y^4\equiv 0\ (mod\ 3)$
segue che $X$ deve essere divisibile per $3$, quindi $X=3X_1$ e
$81X_1^4+27X_1^2Y^2+9Y^4=9^{1003}$
dunque
$9X_1^4+3X_1^2Y^2+Y^4=9^{1003-1}$
Ragionando come prima $Y=3Y_1$ e
$X_1^4+3X_1^2Y_1^2+9Y_1^4=9^{1003-2}$
Continuando in questo modo si arriva a
$X=3^{501}a;\ Y=3^{501}B\Rightarrow x=2^{1003}3^{501}a;\ y=2^{1003}3^{501}B$
con $A$ e $B$ soddisfacenti l'equazione
$a^4+3a^2B^2+9B^4=9$
Facendo l'ultimo passaggio con le congruenze modulo $3$ si arriva a $a=3A$ e
$9A^4+3A^2B^2+B^4=1$
$x=2^{1003}3^{502}A;\ y=2^{1003}3^{501}B$

Se $A$ fosse dato questa sarebbe un'equazione di secondo grado in $B^2$ quindi in campo reale esiste una soluzione per $B$ se e solo se il discriminante è non negativo.
Ragiono così perché la risolvibilità di questa equazione con $A\in\mathbb{Z}$ e $B\in\mathbb{R}$ è condizione necessaria (anche se palesemente non sufficiente) per la risolvibilità della stessa con $A,B\in\mathbb{Z}$.
Il discriminante di questa equazione è
$\Delta = 9A^4-4(9A^4-1)=4-27A^4$
Se $A\in\mathbb{Z}$ allora il discriminante è non negativo se e solo se $A=0$ che quindi è l'unica scelta possibile per $A$. Corrispondentemente si ha $B=\pm 1$ quindi le soluzioni sono
$x=0;\ \ y=\pm 2^{1003}3^{501}=\pm 2\cdot 12^{501}$

[vittorino70]

Una soluzione ...semplificata ma non molto diversa da quelle già postate.
Operando in modulo 3 risulta la congruenza :
\(\displaystyle x^4 \equiv 0 \text{ (mod 3) }\)
Quindi deve esssere \(\displaystyle x=3k \). In particolarte per k=0 si ha x=0 e sostituendo nell'equazione di partenza:
\(\displaystyle y=\pm\sqrt[4]{\frac{12^{2006}}{9}}=\pm 2\cdot 12^{501} \)

[UmbertoM1]

Così però non hai dimostrato che non esistono altre soluzioni

[vittorino70]

Mi sono fidato di quello che ha detto xXStephXx !