Eccone un altro..
Un altro problema, a dire il vero piuttosto facile, ma comunque molto carino.
Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di A, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che esista $L\in A$ tale che per ogni $x,y\in A$ $(Lx)y=x(yy)$.
Dimostrare che esiste $a\in A$ tale che $aa=a$.
Nota: come al solito, occhio alle parentesi!
Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di A, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che esista $L\in A$ tale che per ogni $x,y\in A$ $(Lx)y=x(yy)$.
Dimostrare che esiste $a\in A$ tale che $aa=a$.
Nota: come al solito, occhio alle parentesi!
Risposte
Forse così?
Risulta (facile verifica) $L(LL) = (LL)L$, $(L(LL))L = (LL)(LL)$, etc. Vale quindi la proprietà associativa se gli elementi su cui si opera sono tutti uguali a $L$ e quindi si possono associare con delle parentesi in un qualsiasi modo tali elementi.
Posto allora $x = LL$, $y = L$, si ha
$[L(LL)] L = (LL) [LL] = a = L [(LL) (LL)] = L [ L [(LL) (LL)]] = L [ L [ L [(LL) (LL)]]] = L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)] = aa$
Se è così, allora $a$ risulterebbe addirittura idempotente.
Risulta (facile verifica) $L(LL) = (LL)L$, $(L(LL))L = (LL)(LL)$, etc. Vale quindi la proprietà associativa se gli elementi su cui si opera sono tutti uguali a $L$ e quindi si possono associare con delle parentesi in un qualsiasi modo tali elementi.
Posto allora $x = LL$, $y = L$, si ha
$[L(LL)] L = (LL) [LL] = a = L [(LL) (LL)] = L [ L [(LL) (LL)]] = L [ L [ L [(LL) (LL)]]] = L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)] = aa$
Se è così, allora $a$ risulterebbe addirittura idempotente.
Stan, non mi torna proprio la questione dell'associatività, la tua non si può considerare una dimostrazione. Ogni catena di uguaglianze va dimostrata e il passaggio $L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)]$ così come è non è giustificato. Tra l'altro la mia soluzione è diversa.
Tra l'altro dubito che valga l'associatività. Non vedo ad esempio come dimostrare che $(L(LL))L=L(L(LL))$.
Ok, un aiuto. La prima metà della soluzione consiste nel dimostrare che ogni $a\in A$ ha un punto fisso, ovvero che per ogni $a\in A$ esiste un $y\in A$ tale che $ay=y$.
"fields":
Tra l'altro dubito che valga l'associatività. Non vedo ad esempio come dimostrare che $(L(LL))L=L(L(LL))$.
Sì, hai ragione, neppure io ero del tutto convinto di aver dimostrato l'associatività.

Tra l'altro, cercando in Internet 'sto benedetto punto-fisso, mi sono imbattuto in un interessante esempio, dove la struttura dotata di punto fisso è un semigruppo, ma suppongo che non si possa generalizzare...

"fields":
Ok, un aiuto. La prima metà della soluzione consiste nel dimostrare che ogni $a\in A$ ha un punto fisso, ovvero che per ogni $a\in A$ esiste un $y\in A$ tale che $ay=y$.
Faccio allora un ultimo tentativo, sfruttando l'aiuto.
Sia $y = (La) (La)$, con $a \in A$ qualsiasi. Allora per la formula data, risulta:
$(La) (La) = a [(La) (La)] \Rightarrow y = ay$, cioè $y$ è un punto fisso.
Ma allora, dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
Ho scritto un'altra idiozia?

"anonymous_be1147":
Faccio allora un ultimo tentativo, sfruttando l'aiuto.
Sia $y = (La) (La)$, con $a \in A$ qualsiasi. Allora per la formula data, risulta:
$(La) (La) = a [(La) (La)] \Rightarrow y = ay$, cioè $y$ è un punto fisso.
Ma allora, dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
Ho scritto un'altra idiozia?
Per la parte in cui dimostri che ogni elemento ha un punto fisso, va bene

Comunque adesso si tratta di sfruttare il teorema di punto fisso che hai dimostrato.
Ps: interessante quell'esempio che hai trovato, è molto simile a questo. Questo però fa parte di una teoria della computazione più seria, anche se comunque molto divertente e giocosa.
"fields":
[quote="anonymous_be1147"]
dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
non va: dato un $a\in A$ sai solo che esiste $y$ tale che $ay=y$, non sai se $y=a$!
[/quote]
Giusto, vedo il mio errore.
Comunque adesso si tratta di sfruttare il teorema di punto fisso che hai dimostrato.
Allora riprovo con quest'altro tuo aiuto.
Sia ` x ` il punto fisso di ` L \in A `. Per la proprietà dello stesso risulta
` (Lx) = x ` (1)
"Moltiplicando" (mettendo in relazione con...) ambo i membri della (1) per ` L ` si ottiene
` L (Lx) = Lx ` (2)
Poniamo ` z = L(Lx) `.
Sia ora ` y ` il punto fisso di ` (Lx) `. Per quanto visto nel post precedente, ` y ` è uguale a
` y = [L(Lx) L(Lx)] `
Moltiplichiamo adesso tra loro gli elementi ` z ` e ` y `, ottenendo
` a = L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] = ["per la proprietà della struttura"] = (Lx) [L(Lx) L(Lx)] [L(Lx) L(Lx)] = ["applicando la stessa sul terzo fattore"] = `
` (Lx) [L(Lx) L(Lx)] (Lx) [L(Lx) L(Lx)] = ["per la (2)"] = L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] = aa `
che è quello che si voleva dimostrare.
Spero sia giusto, altrimenti ....


Stan, le parentesi!!!
Ti sei incasinato troppo e hai fatto un errore di parentesi che manda all'aria il ragionamento. Facciamo così: scrivo le tue equazioni in modo più umano, così vedi l'errore.
Hai posto:
$Lx=x$ (1)
$L(Lx)=Lx$ (2)
$(Lx)y=y$, con $y=[L(Lx)][L(Lx)]$.
Quindi, tu scrivi
$(L(Lx))y=(Lx)(yy)=(Lx){y[(Lx)y]}=[L(Lx)]{y[(L(Lx))y]}$.
Come vedi la graffa si interpone!
Ps: la traduzione che ho fatto delle tue equazioni è corretta, l'ho controllata bene.
Ps2: la soluzione è molto più semplice. Non ci sei troppo lontano!

Hai posto:
$Lx=x$ (1)
$L(Lx)=Lx$ (2)
$(Lx)y=y$, con $y=[L(Lx)][L(Lx)]$.
Quindi, tu scrivi
$(L(Lx))y=(Lx)(yy)=(Lx){y[(Lx)y]}=[L(Lx)]{y[(L(Lx))y]}$.
Come vedi la graffa si interpone!
Ps: la traduzione che ho fatto delle tue equazioni è corretta, l'ho controllata bene.
Ps2: la soluzione è molto più semplice. Non ci sei troppo lontano!
Va be', un aiuto definitivo.
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$. Questo si può fare applicando il teorema di punto fisso.
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$. Questo si può fare applicando il teorema di punto fisso.
"fields":
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$
Ok, grazie dell'$n$-simo aiuto, fields. Proverò a pensarci su ancora un po'; ma non garantisco niente, non vorrei mi diventasse un punto... chiodo fisso sto problema.

Va be', archiviamo il giochino.
Sia $f$ il punto fisso di $LL$. Abbiamo $(LL)f=f$.
Dunque, $ff=((LL)f)f=(L(ff))f=(ff)(ff)$ che è quanto si voleva dimostrare.
Sia $f$ il punto fisso di $LL$. Abbiamo $(LL)f=f$.
Dunque, $ff=((LL)f)f=(L(ff))f=(ff)(ff)$ che è quanto si voleva dimostrare.