Eccone un altro..
Un altro problema, a dire il vero piuttosto facile, ma comunque molto carino.
Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di A, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che esista $L\in A$ tale che per ogni $x,y\in A$ $(Lx)y=x(yy)$.
Dimostrare che esiste $a\in A$ tale che $aa=a$.
Nota: come al solito, occhio alle parentesi!
Sia $A$ un insieme di elementi sul quale è definita un'operazione binaria, ovvero un operazione che associa ad ogni coppia ordinata di elementi $a,b\in A$ uno e un solo elemento di A, che indichiamo con $ab$.
Supponiamo che esista $L\in A$ tale che per ogni $x,y\in A$ $(Lx)y=x(yy)$.
Dimostrare che esiste $a\in A$ tale che $aa=a$.
Nota: come al solito, occhio alle parentesi!
Risposte
Forse così?
Risulta (facile verifica) $L(LL) = (LL)L$, $(L(LL))L = (LL)(LL)$, etc. Vale quindi la proprietà associativa se gli elementi su cui si opera sono tutti uguali a $L$ e quindi si possono associare con delle parentesi in un qualsiasi modo tali elementi.
Posto allora $x = LL$, $y = L$, si ha
$[L(LL)] L = (LL) [LL] = a = L [(LL) (LL)] = L [ L [(LL) (LL)]] = L [ L [ L [(LL) (LL)]]] = L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)] = aa$
Se è così, allora $a$ risulterebbe addirittura idempotente.
Risulta (facile verifica) $L(LL) = (LL)L$, $(L(LL))L = (LL)(LL)$, etc. Vale quindi la proprietà associativa se gli elementi su cui si opera sono tutti uguali a $L$ e quindi si possono associare con delle parentesi in un qualsiasi modo tali elementi.
Posto allora $x = LL$, $y = L$, si ha
$[L(LL)] L = (LL) [LL] = a = L [(LL) (LL)] = L [ L [(LL) (LL)]] = L [ L [ L [(LL) (LL)]]] = L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)] = aa$
Se è così, allora $a$ risulterebbe addirittura idempotente.
Stan, non mi torna proprio la questione dell'associatività, la tua non si può considerare una dimostrazione. Ogni catena di uguaglianze va dimostrata e il passaggio $L [ L [ L [ L [(LL) (LL)]]]] = [(LL) (LL)] [(LL) (LL)]$ così come è non è giustificato. Tra l'altro la mia soluzione è diversa.
Tra l'altro dubito che valga l'associatività. Non vedo ad esempio come dimostrare che $(L(LL))L=L(L(LL))$.
Ok, un aiuto. La prima metà della soluzione consiste nel dimostrare che ogni $a\in A$ ha un punto fisso, ovvero che per ogni $a\in A$ esiste un $y\in A$ tale che $ay=y$.
"fields":
Tra l'altro dubito che valga l'associatività. Non vedo ad esempio come dimostrare che $(L(LL))L=L(L(LL))$.
Sì, hai ragione, neppure io ero del tutto convinto di aver dimostrato l'associatività.
Però, se si dimostra questa, tutti i passaggi che ho scritto sono corretti.Tra l'altro, cercando in Internet 'sto benedetto punto-fisso, mi sono imbattuto in un interessante esempio, dove la struttura dotata di punto fisso è un semigruppo, ma suppongo che non si possa generalizzare...
"fields":
Ok, un aiuto. La prima metà della soluzione consiste nel dimostrare che ogni $a\in A$ ha un punto fisso, ovvero che per ogni $a\in A$ esiste un $y\in A$ tale che $ay=y$.
Faccio allora un ultimo tentativo, sfruttando l'aiuto.
Sia $y = (La) (La)$, con $a \in A$ qualsiasi. Allora per la formula data, risulta:
$(La) (La) = a [(La) (La)] \Rightarrow y = ay$, cioè $y$ è un punto fisso.
Ma allora, dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
Ho scritto un'altra idiozia?
"anonymous_be1147":
Faccio allora un ultimo tentativo, sfruttando l'aiuto.
Sia $y = (La) (La)$, con $a \in A$ qualsiasi. Allora per la formula data, risulta:
$(La) (La) = a [(La) (La)] \Rightarrow y = ay$, cioè $y$ è un punto fisso.
Ma allora, dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
Ho scritto un'altra idiozia?
Per la parte in cui dimostri che ogni elemento ha un punto fisso, va bene
. Però il resto del ragionamento non va: dato un $a\in A$ sai solo che esiste $y$ tale che $ay=y$, non sai se $y=a$! Comunque adesso si tratta di sfruttare il teorema di punto fisso che hai dimostrato.
Ps: interessante quell'esempio che hai trovato, è molto simile a questo. Questo però fa parte di una teoria della computazione più seria, anche se comunque molto divertente e giocosa.
"fields":
[quote="anonymous_be1147"]
dato che $a$ è un qualsiasi elemento di $A$, risulterà anche $y = yy$.
non va: dato un $a\in A$ sai solo che esiste $y$ tale che $ay=y$, non sai se $y=a$!
[/quote]
Giusto, vedo il mio errore.
Comunque adesso si tratta di sfruttare il teorema di punto fisso che hai dimostrato.
Allora riprovo con quest'altro tuo aiuto.
Sia ` x ` il punto fisso di ` L \in A `. Per la proprietà dello stesso risulta
` (Lx) = x ` (1)
"Moltiplicando" (mettendo in relazione con...) ambo i membri della (1) per ` L ` si ottiene
` L (Lx) = Lx ` (2)
Poniamo ` z = L(Lx) `.
Sia ora ` y ` il punto fisso di ` (Lx) `. Per quanto visto nel post precedente, ` y ` è uguale a
` y = [L(Lx) L(Lx)] `
Moltiplichiamo adesso tra loro gli elementi ` z ` e ` y `, ottenendo
` a = L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] = ["per la proprietà della struttura"] = (Lx) [L(Lx) L(Lx)] [L(Lx) L(Lx)] = ["applicando la stessa sul terzo fattore"] = `
` (Lx) [L(Lx) L(Lx)] (Lx) [L(Lx) L(Lx)] = ["per la (2)"] = L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] L(Lx) [L(Lx) L(Lx)] = aa `
che è quello che si voleva dimostrare.
Spero sia giusto, altrimenti ....
... mi arrendo! 
Stan, le parentesi!!! 
Ti sei incasinato troppo e hai fatto un errore di parentesi che manda all'aria il ragionamento. Facciamo così: scrivo le tue equazioni in modo più umano, così vedi l'errore.
Hai posto:
$Lx=x$ (1)
$L(Lx)=Lx$ (2)
$(Lx)y=y$, con $y=[L(Lx)][L(Lx)]$.
Quindi, tu scrivi
$(L(Lx))y=(Lx)(yy)=(Lx){y[(Lx)y]}=[L(Lx)]{y[(L(Lx))y]}$.
Come vedi la graffa si interpone!
Ps: la traduzione che ho fatto delle tue equazioni è corretta, l'ho controllata bene.
Ps2: la soluzione è molto più semplice. Non ci sei troppo lontano!
Ti sei incasinato troppo e hai fatto un errore di parentesi che manda all'aria il ragionamento. Facciamo così: scrivo le tue equazioni in modo più umano, così vedi l'errore.Hai posto:
$Lx=x$ (1)
$L(Lx)=Lx$ (2)
$(Lx)y=y$, con $y=[L(Lx)][L(Lx)]$.
Quindi, tu scrivi
$(L(Lx))y=(Lx)(yy)=(Lx){y[(Lx)y]}=[L(Lx)]{y[(L(Lx))y]}$.
Come vedi la graffa si interpone!
Ps: la traduzione che ho fatto delle tue equazioni è corretta, l'ho controllata bene.
Ps2: la soluzione è molto più semplice. Non ci sei troppo lontano!
Va be', un aiuto definitivo.
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$. Questo si può fare applicando il teorema di punto fisso.
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$. Questo si può fare applicando il teorema di punto fisso.
"fields":
Per risolvere il problema è sufficiente mostrare che esiste $f\in A$ tale che, per ogni $y\in A$, $fy=(ff)(yy)$
Ok, grazie dell'$n$-simo aiuto, fields. Proverò a pensarci su ancora un po'; ma non garantisco niente, non vorrei mi diventasse un punto... chiodo fisso sto problema.
Va be', archiviamo il giochino.
Sia $f$ il punto fisso di $LL$. Abbiamo $(LL)f=f$.
Dunque, $ff=((LL)f)f=(L(ff))f=(ff)(ff)$ che è quanto si voleva dimostrare.
Sia $f$ il punto fisso di $LL$. Abbiamo $(LL)f=f$.
Dunque, $ff=((LL)f)f=(L(ff))f=(ff)(ff)$ che è quanto si voleva dimostrare.
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