Easy \(7\cdot 8^n \)

[xXStephXx]

Dimostrare che per ogni \(\displaystyle n \) naturale è possibile ottenere \(\displaystyle 7 \cdot 8^n \) come differenza di due cubi.

[giannirecanati]

Provando si ci accorge che \(\displaystyle x \) ed \(\displaystyle y \) devono essere potenza del 2 successive. Dimostro quindi che per qualunque valore di \(\displaystyle n \) allora i numeri \(\displaystyle x \) ed \(\displaystyle y \) sono potenze del 2 del tipo \(\displaystyle 2^{n+1} \) ed \(\displaystyle 2^n \).
Possiamo dimostrare l'uguaglianza \(\displaystyle 2^{3(n+1)}-2^{3n}=7\cdot 2^{3n} \) sia per induzione che per passaggi algebrici. Raccogliendo e semplificando si ottiene un'identità.

[xXStephXx]

Va bene

[theras]

Ciao ad entrambi!
Altrimenti...
1)P(1) è vera ($7*8=56=4^3-2^3$,ed eventualmente $7*8^0=7*1=7=2^3-1^3$..)
2)Fissato a piacere $n inNN$,si ha:
P(n) è vera$rArr7*8^n=a^3-b^3$ per qualche $a,b inNNrArr7*8^(n+1)=(7*8^n)2^3=(a^3-b^3)*2^3=(2a)^3-(2b)^3rArr$
$rArr$P(n+1) è vera
Saluti dal web.