E' vero che $sin(m/n*pi)$ è esprimibile per radicali?
$AA m,n in NN $ e $n!=0$, è vero che $sin(m/n*pi)$ è esprimibile per radicali?
E' un quesito che mi sono posto io, non ho idea di quanto difficile(o quanto stupido) possa essere...
E' un quesito che mi sono posto io, non ho idea di quanto difficile(o quanto stupido) possa essere...
Risposte
"blackdie":
$AA m,n in NN $ e $n!=0$, è vero che $sin(m/n*pi)$ è esprimibile per radicali? E' un quesito che mi sono posto io, non ho idea di quanto difficile (o quanto stupido) possa essere...
Ovviamente non è un quesito banale: è già di per sé complicato (anche se del tutto elementare) stabilire per quali coppie $(m,n)$ di interi, con $n > 0$, vale che $sin(m/n * pi)$ è razionale... Il tuo problema, d'altra parte, necessita di conoscenze algebriche moderatamente spinte che coinvolgono i campi di spezzamento e la teoria di Galois.
Buon Natale,
Salvatore Tringali
EDIT: l'italiano!
Ah ok,decisamente oltre le mie conoscenze.Cmq, se qualcuno volesse cimentarsi in tal problema,saro lieto di conoscere semplicemente se la questione,sia vera o falsa.
Ho appena finito di provare che $\sin(\pi/11)$ non è esprimibile per radicali. Ti lascio solamente alcuni sketch dimostrativi, la questione è veramente rognosa, per lo più a causa della miriade di calcoli in cui ci si deve imbarcare.
i) Ragionare sul seno è lo stesso che ragionare sul coseno, dunque proviamo che $\xi = \cos(\pi/11)$ non è esprimibile per radicali.
ii) Dimostriamo che $\xi$ risolve la quintica di equazione (1) $32x^5 - 16x^4 - 32x^3 + 12x^2 + 6x - 1$.
iii) Riduciamo la (1) in forma principale, e quindi in forma di Bring-Jerrard, usando una trasformazione di Tschirnhausen.
iv) Essendo (2) $y^5 + ay + b$ la forma di Bring-Jerrard della (1), dove $a, b \in QQ$, mostriamo che la $(2)$ definisce un polinomio irriducibile di $QQ[x]$ mediante i poligoni di Newton.
v) Applichiamo il teorema di Spearman-Williams per dedurne che la $(2)$ non è risolvibile per radicali, e che quindi nessuna delle sue radici è esprimibile per radicali.
vi) Concludiamo che $\xi$ non è esprimibile per radicali, considerando - a ritroso - che le radici della (2) sono legate a quelle della (1) per via di radicali.
i) Ragionare sul seno è lo stesso che ragionare sul coseno, dunque proviamo che $\xi = \cos(\pi/11)$ non è esprimibile per radicali.
ii) Dimostriamo che $\xi$ risolve la quintica di equazione (1) $32x^5 - 16x^4 - 32x^3 + 12x^2 + 6x - 1$.
iii) Riduciamo la (1) in forma principale, e quindi in forma di Bring-Jerrard, usando una trasformazione di Tschirnhausen.
iv) Essendo (2) $y^5 + ay + b$ la forma di Bring-Jerrard della (1), dove $a, b \in QQ$, mostriamo che la $(2)$ definisce un polinomio irriducibile di $QQ[x]$ mediante i poligoni di Newton.
v) Applichiamo il teorema di Spearman-Williams per dedurne che la $(2)$ non è risolvibile per radicali, e che quindi nessuna delle sue radici è esprimibile per radicali.
vi) Concludiamo che $\xi$ non è esprimibile per radicali, considerando - a ritroso - che le radici della (2) sono legate a quelle della (1) per via di radicali.
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