Due quesiti per voi
1) Ci sono dodici palline apparentemente uguali. Una di esse, tuttavia, ha un peso diverso dalle altre, che hanno tutte peso standard. Si dispone di una bilancia a braccia uguali.
A) Determinare, con tre sole pesate quale è la pallina di peso diverso e dire se essa ha un peso maggiore o minore di quello standard.
B) Risolvere l'analogo problema, questa volta con tredici palline (di cui una con peso diverso da quello standard), sapendo che si dispone di una cesta separata contenente palline di peso standard.
C) Nel caso in cui le palline fossero quattordici, è sempre possibile determinare la pallina di peso diverso con tre pesate?
[Una bilancia a braccia uguali ha due piatti, in ciascuno dei quali si può disporre un certo numero di palline, e fornisce tre possibili risultati della pesata: l'ago della bilancia pende a sinistra, o a destra oppure rimane al centro. Si consiglia di numerare le palline.]
2) Mario gioca a dadi con Giorgio, secondo le seguenti regole.
Mario usa due dadi, ed il suo punteggio è la somma dei risultati del lancio dei due dadi. Giorgio ne usa tre, ed il suo punteggio è la somma dei due risultati più alti del lancio dei tre dadi.
Mario vince se il punteggio da lui ottenuto è maggiore o uguale al punteggio ottenuto da Giorgio.
Qual è la probabilità che Mario vinca?
[Si supponga per semplicità che i dadi siano tetraedri regolari e che quindi il lancio di un dado fornisca un numeri intero da 1 a 4 con uguale probabilità.]
A) Determinare, con tre sole pesate quale è la pallina di peso diverso e dire se essa ha un peso maggiore o minore di quello standard.
B) Risolvere l'analogo problema, questa volta con tredici palline (di cui una con peso diverso da quello standard), sapendo che si dispone di una cesta separata contenente palline di peso standard.
C) Nel caso in cui le palline fossero quattordici, è sempre possibile determinare la pallina di peso diverso con tre pesate?
[Una bilancia a braccia uguali ha due piatti, in ciascuno dei quali si può disporre un certo numero di palline, e fornisce tre possibili risultati della pesata: l'ago della bilancia pende a sinistra, o a destra oppure rimane al centro. Si consiglia di numerare le palline.]
2) Mario gioca a dadi con Giorgio, secondo le seguenti regole.
Mario usa due dadi, ed il suo punteggio è la somma dei risultati del lancio dei due dadi. Giorgio ne usa tre, ed il suo punteggio è la somma dei due risultati più alti del lancio dei tre dadi.
Mario vince se il punteggio da lui ottenuto è maggiore o uguale al punteggio ottenuto da Giorgio.
Qual è la probabilità che Mario vinca?
[Si supponga per semplicità che i dadi siano tetraedri regolari e che quindi il lancio di un dado fornisca un numeri intero da 1 a 4 con uguale probabilità.]
Risposte
Punto 1, A:
1' pesata: 6 palline per piatto.
Scarto le 6 palline del piatto più leggero.
2' pesata: 3 palline per piatto.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Oppure:
1' pesata: 4 per piatto e 4 fuori.
Si tengono le 4 del piatto più pesante, oppure, se questi sono uguali, le 4 non pesate.
2' pesata: 2 per piatto.
Si tengono le due più pesanti.
3' pesata: una per piatto...
1' pesata: 6 palline per piatto.
Scarto le 6 palline del piatto più leggero.
2' pesata: 3 palline per piatto.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Oppure:
1' pesata: 4 per piatto e 4 fuori.
Si tengono le 4 del piatto più pesante, oppure, se questi sono uguali, le 4 non pesate.
2' pesata: 2 per piatto.
Si tengono le due più pesanti.
3' pesata: una per piatto...
Punto 1, B:
1' pesata: 6 palline per piatto, una fuori.
Scarto le 6 palline del piatto più leggero. Se sono uguali, è quella fuori la più pesante.
2' pesata: 3 palline per piatto.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Oppure:
1' pesata: 4 per piatto e 5 fuori.
Si tengono le 4 del piatto più pesante, oppure, se questi sono uguali, le 5 non pesate.
2' pesata: 2 per piatto e una fuori.
Si tengono le due più pesanti, oppure, se questi sono uguali, quella non pesata è la più pesante.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
1' pesata: 6 palline per piatto, una fuori.
Scarto le 6 palline del piatto più leggero. Se sono uguali, è quella fuori la più pesante.
2' pesata: 3 palline per piatto.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Oppure:
1' pesata: 4 per piatto e 5 fuori.
Si tengono le 4 del piatto più pesante, oppure, se questi sono uguali, le 5 non pesate.
2' pesata: 2 per piatto e una fuori.
Si tengono le due più pesanti, oppure, se questi sono uguali, quella non pesata è la più pesante.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Punto 1, C:
1' pesata: 7 palline per piatto.
Scarto le 7 palline del piatto più leggero.
2' pesata: 3 palline per piatto e una fuori.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero, oppure, se sono uguali, la più pesante è quella fuori.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
1' pesata: 7 palline per piatto.
Scarto le 7 palline del piatto più leggero.
2' pesata: 3 palline per piatto e una fuori.
Scarto le 3 palline del piatto più leggero, oppure, se sono uguali, la più pesante è quella fuori.
3' pesata: una pallina per piatto e una fuori dalla bilancia.
Se una delle due palline pesate è più pesante dell'altra, eccola trovata. Se le due sulla bilancia sono uguali, la più pesante è quella fuori dalla bilancia.
Cheguevilla non sappiamo se la pallina cercata pesa più o meno delle altre. Quindi perchè dovremmo scartare a priori le 6 del piatto più leggero?
Punto B: la prima idea che mi è venuta in mente è:
Variabile aleatoria di Mario: $P(M=x)={(2,1/16),(3,2/16),(4,3/16),(5,4/16),(6,3/16),(7,2/16),(8,1/16):}$
Variabile aleatoria di Gianni: $P(M=x)={(2,1/64),(3,3/64),(4,7/64),(5,12/64),(6,16/64),(7,15/64),(8,10/64):}$
Quindi, la probabilità che Mario vinca sarà:
$P(M>=G)=sum_(i=2)^8sum_(j=2)^iP(M=i)P(G=j)$
Spero che le formule si vedano correttamente, in ufficio non posso visualizzarle.
Inoltre, è pure finita la pausa pranzo, sigh...
Variabile aleatoria di Mario: $P(M=x)={(2,1/16),(3,2/16),(4,3/16),(5,4/16),(6,3/16),(7,2/16),(8,1/16):}$
Variabile aleatoria di Gianni: $P(M=x)={(2,1/64),(3,3/64),(4,7/64),(5,12/64),(6,16/64),(7,15/64),(8,10/64):}$
Quindi, la probabilità che Mario vinca sarà:
$P(M>=G)=sum_(i=2)^8sum_(j=2)^iP(M=i)P(G=j)$
Spero che le formule si vedano correttamente, in ufficio non posso visualizzarle.
Inoltre, è pure finita la pausa pranzo, sigh...
Argh, tutta la soluzione del primo è fumata...
1-A
Per questioni di chiarezza assegno a ciascuna pallina un numero da 1 a 12 e identifico con tale numero ciascuna pallina.
Metto sui piatti della bilancia da un lato le palline 1,2,3,4 e dall'altro le palline 5,6,7,8.
-Caso 1: il peso è uguale
Ovviamente la pallina diversa è nel gruppo 9,10,11,12.
Metto su un piatto della bilancia le palline 9,10,11 e sull'altro le palline 1,2,3.
--Caso 1.1: il peso è uguale
Dunque la pallina diversa è la 12. La confronto con un'altra a caso e vedo se il suo peso è maggiore o minore.
--Caso 1.2: il peso è diverso
La pallina diversa sta nel gruppo 9,10,11 e possiamo intuire subito se il suo peso è maggiore o minore di quello
standard. A questo punto basta confrontare la 9 con la 10... se il peso è uguale allora la pallina diversa è la 11,
viceversa sarà la 9 o la 10 a seconda di dove pende la bilancia.
-Caso 2: il peso è diverso
Ipotizziamo che il gruppo 1,2,3,4 risulti più pesante (si potrebbe ipotizzare anche il contrario, ai fini del procedimento
non cambia nulla). Dunque o una pallina del gruppo 1,2,3,4 è più pesante della media o una del gruppo 5,6,7,8 è più
leggera.
Ora confrontiamo il gruppo 1,2,3,8 col gruppo 4,9,10,11 (sappiamo che le palline 9,10,11 sono standard)
--Caso 2.1: il gruppo 1,2,3,8 è più pesante
Quindi una pallina del gruppo 1,2,3 è più pesante della media. Si confrano la 1 e la 2.
---Caso 2.1.1: la 1 è più pesante
La pallina diversa è la 1 ed è più pesante della media.
---Caso 2.1.2: la 2 è più pesante
La pallina diversa è la 2 ed è più pesante della media.
---Caso 2.1.3: sono uguali
La pallina diversa è la 3 ed è più pesante della media.
--Caso 2.2: il gruppo 1,2,3,8 è più leggero
La pallina diversa è la 4 ed è più pesante della media o la 8 ed è più leggera della media. La verifica è semplice con un
nuovo confronto di una delle due con una pallina standard.
--Caso 2.3: il peso è uguale
La pallina diversa sta nel gruppo 6,7,8, ovviamente è più leggera della media ed è facile individuarla (si vedano i punti
2.1.1, 2.1.2, 2.1.3)
Per questioni di chiarezza assegno a ciascuna pallina un numero da 1 a 12 e identifico con tale numero ciascuna pallina.
Metto sui piatti della bilancia da un lato le palline 1,2,3,4 e dall'altro le palline 5,6,7,8.
-Caso 1: il peso è uguale
Ovviamente la pallina diversa è nel gruppo 9,10,11,12.
Metto su un piatto della bilancia le palline 9,10,11 e sull'altro le palline 1,2,3.
--Caso 1.1: il peso è uguale
Dunque la pallina diversa è la 12. La confronto con un'altra a caso e vedo se il suo peso è maggiore o minore.
--Caso 1.2: il peso è diverso
La pallina diversa sta nel gruppo 9,10,11 e possiamo intuire subito se il suo peso è maggiore o minore di quello
standard. A questo punto basta confrontare la 9 con la 10... se il peso è uguale allora la pallina diversa è la 11,
viceversa sarà la 9 o la 10 a seconda di dove pende la bilancia.
-Caso 2: il peso è diverso
Ipotizziamo che il gruppo 1,2,3,4 risulti più pesante (si potrebbe ipotizzare anche il contrario, ai fini del procedimento
non cambia nulla). Dunque o una pallina del gruppo 1,2,3,4 è più pesante della media o una del gruppo 5,6,7,8 è più
leggera.
Ora confrontiamo il gruppo 1,2,3,8 col gruppo 4,9,10,11 (sappiamo che le palline 9,10,11 sono standard)
--Caso 2.1: il gruppo 1,2,3,8 è più pesante
Quindi una pallina del gruppo 1,2,3 è più pesante della media. Si confrano la 1 e la 2.
---Caso 2.1.1: la 1 è più pesante
La pallina diversa è la 1 ed è più pesante della media.
---Caso 2.1.2: la 2 è più pesante
La pallina diversa è la 2 ed è più pesante della media.
---Caso 2.1.3: sono uguali
La pallina diversa è la 3 ed è più pesante della media.
--Caso 2.2: il gruppo 1,2,3,8 è più leggero
La pallina diversa è la 4 ed è più pesante della media o la 8 ed è più leggera della media. La verifica è semplice con un
nuovo confronto di una delle due con una pallina standard.
--Caso 2.3: il peso è uguale
La pallina diversa sta nel gruppo 6,7,8, ovviamente è più leggera della media ed è facile individuarla (si vedano i punti
2.1.1, 2.1.2, 2.1.3)
Credo di aver risolto la prima domanda 
Divido le palline in 3 gruppi da 4 che chiamerò x(1,2,3,4),y(5,6,7,8) e z(9,10,11,12). Chiamerò la pallina di peso differente T.
Pesata I
Peso x e y:
a. Se hanno peso differente formerò due gruppi (1,9,5,6) e (7,8,10,11).
b. Se hanno peso equivalente prenderò in considerazione z.
Pesata II
a. Peso i due gruppi formati e noto, supponendo che x pesi più di y (le situazioni si equivalgono, ne scelgo una per comodità espressiva), o che si equivalgono(c), in tal caso la pallina che pesa più delle altre è la 2,3 o 4, o che (1,9,5,6) > (7,8,10,11)(d), quindi o la 1 è la più pesante, o la 7 o la 8 sono le più leggere.
b. Peso (9,10,11) con (1,2,3). Se si equivalgono (c) T è la 12 (che poi peserò per sapere se è più pesante o più leggera), altrimenti (d) trovo che T è più pesante o più leggera (a seconda del risultato
) tra la 9,10 e 11.
Pesata III
a. (c) peso la 2 con la 3, se si equivalgono T è la 4(più pesante), altrimenti T è la più pesante delle due. (d) peso la 7 con la 8, se si equivalgono la 1 è più pesante, altrimenti T è la più leggera delle due.
b. (c) peso la 12 per sapere se è puù pesante o più leggera delle altre. (d) peso la 9 con la 10, se si equivalgono T è la 11, altrimenti vedo quale è delle due.
Un po' contorto, intanto lo posto poi vedo di editare per renderlo più chiaro
[edit:
ho postato tardi, vabbè ]
Divido le palline in 3 gruppi da 4 che chiamerò x(1,2,3,4),y(5,6,7,8) e z(9,10,11,12). Chiamerò la pallina di peso differente T.
Pesata I
Peso x e y:
a. Se hanno peso differente formerò due gruppi (1,9,5,6) e (7,8,10,11).
b. Se hanno peso equivalente prenderò in considerazione z.
Pesata II
a. Peso i due gruppi formati e noto, supponendo che x pesi più di y (le situazioni si equivalgono, ne scelgo una per comodità espressiva), o che si equivalgono(c), in tal caso la pallina che pesa più delle altre è la 2,3 o 4, o che (1,9,5,6) > (7,8,10,11)(d), quindi o la 1 è la più pesante, o la 7 o la 8 sono le più leggere.
b. Peso (9,10,11) con (1,2,3). Se si equivalgono (c) T è la 12 (che poi peserò per sapere se è più pesante o più leggera), altrimenti (d) trovo che T è più pesante o più leggera (a seconda del risultato
) tra la 9,10 e 11.Pesata III
a. (c) peso la 2 con la 3, se si equivalgono T è la 4(più pesante), altrimenti T è la più pesante delle due. (d) peso la 7 con la 8, se si equivalgono la 1 è più pesante, altrimenti T è la più leggera delle due.
b. (c) peso la 12 per sapere se è puù pesante o più leggera delle altre. (d) peso la 9 con la 10, se si equivalgono T è la 11, altrimenti vedo quale è delle due.
Un po' contorto, intanto lo posto poi vedo di editare per renderlo più chiaro
[edit:
ho postato tardi, vabbè ]
Metto sui piatti della bilancia da un lato le palline 1,2,3,4 e dall'altro le palline 5,6,7,8.Come è possibile?
-Caso 1: il peso è uguale
Ovviamente la pallina diversa è nel gruppo 9,10,11,12.
Metto su un piatto della bilancia le palline 9,10,11 e sull'altro le palline 1,2,3.
--Caso 1.1: il peso è uguale
Dunque la pallina diversa è la 12. La confronto con un'altra a caso e vedo se il suo peso è maggiore o minore.
--Caso 1.2: il peso è diverso
La pallina diversa sta nel gruppo 1,2,3 e possiamo intuire subito se il suo peso è maggiore o minore di quello standard.
A questo punto basta confrontare la 1 con la 2... se il peso è uguale allora la pallina diversa è la 3, viceversa sarà la 1
o la 2 a seconda di dove pende la bilancia.
All'inizio hai detto che metti sui piatti le palline 1,2,3,4 e 5,6,7,8 e questi sono uguali.
Quindi è impossibile che la pallina diversa stia nel gruppo 1,2,3...
Ahhahh ovviamente avevo invertito. No prob, ho editato.
1B
Con tredici palline e un cesto di normali è un po' più semplice.Chiamerò sempre T la pallina di peso differente.
Pesata I:
Peso le palline dalla 1 alla 9 con altrettante palline normali.
a. Se si eguagliano e considero la 10,11,12e la 13.
b. Non si eguagliano e conosco se T pesa più o meno delle altre.
Pesata II:
a. Peso 10,11 e 12 con tre palline normali. Se si eguagliano (c) la 13 è T, altrimenti (d)conosco se T pesa più o meno delle altre.
b. Peso 1,2,3 con 4,5,6. Se si eguagliano (c) considero 7,8,9, altrimenti (d) conosco il gruppo un cui si trova T.
Pesata III:
a. (c)Peso Tcon una pallina normale e scopro se pesa più o meno delle altre. (d)Peso la 10 con la 11, se si eguagliano T è la 12 altrimenti è una delle due pesate.
b. In ogni caso [(c) e (d)] peso due palline tra loro e vedo quale delle tre risulta essere T.
Con tredici palline e un cesto di normali è un po' più semplice.Chiamerò sempre T la pallina di peso differente.
Pesata I:
Peso le palline dalla 1 alla 9 con altrettante palline normali.
a. Se si eguagliano e considero la 10,11,12e la 13.
b. Non si eguagliano e conosco se T pesa più o meno delle altre.
Pesata II:
a. Peso 10,11 e 12 con tre palline normali. Se si eguagliano (c) la 13 è T, altrimenti (d)conosco se T pesa più o meno delle altre.
b. Peso 1,2,3 con 4,5,6. Se si eguagliano (c) considero 7,8,9, altrimenti (d) conosco il gruppo un cui si trova T.
Pesata III:
a. (c)Peso Tcon una pallina normale e scopro se pesa più o meno delle altre. (d)Peso la 10 con la 11, se si eguagliano T è la 12 altrimenti è una delle due pesate.
b. In ogni caso [(c) e (d)] peso due palline tra loro e vedo quale delle tre risulta essere T.
1C
Non è possibile, utilizzando il metodo della 1B se aggiungo una pallina all'opzione "a" o alla "b" non sono più in grado di scovare esattamente T (:roll: fai la prova e vedi) a meno di non trovare un metodo migliore di 1B (non so come dimostrarlo ma non ci sono)
Non è possibile, utilizzando il metodo della 1B se aggiungo una pallina all'opzione "a" o alla "b" non sono più in grado di scovare esattamente T (:roll: fai la prova e vedi) a meno di non trovare un metodo migliore di 1B (non so come dimostrarlo ma non ci sono
)
Bene ragazzi, per il primo non sono riuscito neanche io a dimostrare che il metodo trovato è il migliore per poi giustificare la 1C, il secondo sulle probabilità resta comunque molto intricato quanto a calcoli cheguevilla...chissà non esista qualcosa di più semplice.
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