Due quesiti

[TomSawyer1]

1) Provare che ogni intero positivo $n$ è rappresentabile unicamente nella forma $n=b_0+b_13+...+b_(k-1)3^(k-1)+3^k$, dove $b_i in {-1,0,1}$ per tutti gli $i=0,1,...,k-1$. (Facile, quindi gli esperti postino oscurando).

2) Dimostrare che per $x>=2$ vale $sum_(n<=x)log^2(x/n)=2x+O(log^2x)$.

Buon divertimento.

[Thomas16]

"Crook":2) Dimostrare che per $x>=2$ vale $sum_(n<=x)log^2(x/n)=2x+O(log^2x)$.

cosa siginifica per $x>=2$?? visto l'argomento dell'O grande, sembra che la x debba essere fatta tendere all'infinito, e allora perchè quella condizione???

[TomSawyer1]

"Thomas":[quote="Crook"]2) Dimostrare che per $x>=2$ vale $sum_(n<=x)log^2(x/n)=2x+O(log^2x)$.

cosa siginifica per $x>=2$?? visto l'argomento dell'O grande, sembra che la x debba essere fatta tendere all'infinito, e allora perchè quella condizione???[/quote]

Perché per $x=1$ è falsa, e per qualsiasi altro $x$ (non solo quando tende all'infinito) è vera.

[Thomas16]

ma allora tu cosa intendi per quell' O grande ad x fissato???

[TomSawyer1]

Per $f=O(g)$ intendo che, se esiste una costante $c>0$ tale che $|f(x)|<=cg(x)$, per ogni $x in RR$.

[Thomas16]

O.K.

[carlo232]

"Crook":

2) Dimostrare che per $x>=2$ vale $sum_(n<=x)log^2(x/n)=2x+O(log^2x)$.

Buon divertimento.

Si può dimostrare, e se richiesto lo farò, che se $f(x)$ è una funzione debolmente decrescente e infinitesima allora esiste una costante $C$ tale che

$sum_(n<=x) f(n)= int_1^x f(t) dt +C+O(f(x))$

ora

$sum_(n<=x) ln^2(x/n)=sum_(n<=x) (ln(x)-ln(n))^2=sum_(n<=x) ln^2(x)-2ln(x)ln(n)+ln^2(n)$

$sum_(n<=x) ln^2(x/n)=xln^2(x)-2ln(x)sum_(n<=x)ln(n)+sum_(n<=x)ln^2(n)$

e per quanto detto all'inizio

$sum_(n<=x)ln(n)=xln(x)-x+C_1+O(ln(x))$

$sum_(n<=x)ln^2(n)=xln^2(x)-2xln(x)+2x+C_2+O(ln^2(x))$

sostituendo e con alcune osservazioni riguardo $O$ si giunge al risultato.

[TomSawyer1]

@carlo23
Ok, è praticamente quella che conosco.

Per quanto riguarda la funzione debolmente crescente, fai pure, fa solo piacere capire una nuova dimostrazione.

[carlo232]

"Crook":Per quanto riguarda la funzione debolmente crescente, fai pure, fa solo piacere capire una nuova dimostrazione.

Si trova nell'appendice di questa splendida dispensa

http://www.math.unipr.it/~zaccagni/psfi ... ezioni.pdf

[TomSawyer1]

"Crook":1) Provare che ogni intero positivo $n$ è rappresentabile unicamente nella forma $n=b_0+b_13+...+b_(k-1)3^(k-1)+3^k$, dove $b_i in {-1,0,1}$ per tutti gli $i=0,1,...,k-1$. (Facile, quindi gli esperti postino oscurando).

Lo ripropongo.