Due problemi di TdN
1) (riscaldamento)
Per quali numeri primi \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \) il numero \(\displaystyle (p + 1)^q \) è un quadrato perfetto?
2)
Si determinino i numeri primi \(\displaystyle p \) tali che \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} \) sia un quadrato perfetto.
Per quali numeri primi \(\displaystyle p \) e \(\displaystyle q \) il numero \(\displaystyle (p + 1)^q \) è un quadrato perfetto?
2)
Si determinino i numeri primi \(\displaystyle p \) tali che \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} \) sia un quadrato perfetto.
Risposte
Anche se forse nel secondo caso un pensierino sul perchè è necessario che \(\displaystyle p+1 \) sia quadrato lo potevi pure mettere. Cioè dimostra che se \(\displaystyle p+1 \) non è un quadrato non ci sono soluzioni con \(\displaystyle q>2 \).
Va bene Ora il secondo xDD
Ora il secondo xDD
Penso che p può essere 3 o 7, ma non ho una domostrazione.
3 -> 1
7 -> 9
3 -> 1
7 -> 9
Qua una dimostrazione è necessaria, anche perchè il 90% abbondante del problema sta nel dimostrare che non ce ne sono altre.. O comunque sta nell'arrivare ad una delle due soluzioni escludendo tutte le altre.. Quindi si può considerare concluso solo con una dimostrazione completa
\(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}=\frac{(2^{\frac{p-1}{2}}+1)(2^{\frac{p-1}{2}}-1)}{p} \)
pensando...
pensando...
Qua c'entra certamente il piccolo teorema di Fermat.
Si ha che $2^(p-1)-1-=0$ $mod$ $p$ e quindi $(2^(p-1)-1)/p$ è sicuramente intero. Ho provato a raccogliere, fattorizzare, ecc..., ma niente. Ho verificato che fino a 1000 ci sono solo 3 e 7, mi sembra un pò strano che ci siano altri valori che vadano bene, ci penserò un po' su.
Si ha che $2^(p-1)-1-=0$ $mod$ $p$ e quindi $(2^(p-1)-1)/p$ è sicuramente intero. Ho provato a raccogliere, fattorizzare, ecc..., ma niente. Ho verificato che fino a 1000 ci sono solo 3 e 7, mi sembra un pò strano che ci siano altri valori che vadano bene, ci penserò un po' su.
Supponiamo che $p>2$ sia primo e che $(2^{p-1} -1)/p$ sia un quadrato.
E' facile controllare che $(2^{p-1} -1)/p$ e' un quadrato per $p=3$ e $p=7$, ma non per $p=5$.
Sia adesso $p\ge 7$.
Dal fatto che quadrati dispari sono congrui ad $1$ mod $8$ e $2^{p-1}-1\equiv -1$ mod $8$,
segue che $p\equiv -1$ mod $8$. Questo implica che $2$ e' un quadrato modulo $p$ e
quindi che $p$ divide $2^{(p-1)/2} -1$.
Allora $(2^{p-1}-1)/p$ e' il prodotto degli interi $(2^{(p-1)/2} -1)/p$ e $2^{(p-1)/2} +1$. Poiche'
questi due fattori sono coprimi e positivi, tutti e due sono quadrati. In particolare, si ha
che $2^{(p-1)/2}+1=y^2$ e quindi $2^{(p-1)/2}=(y+1)(y-1)$ per qualche $y\in\Z_{>0}$.
Questo implica che sia $y-1$ che $y+1$ sono potenze di due. Le uniche potenze di $2$
che differiscono per $2$, sono $2$ e $4$. Abbiamo quindi che $y=3$ e $p=7$.
E' facile controllare che $(2^{p-1} -1)/p$ e' un quadrato per $p=3$ e $p=7$, ma non per $p=5$.
Sia adesso $p\ge 7$.
Dal fatto che quadrati dispari sono congrui ad $1$ mod $8$ e $2^{p-1}-1\equiv -1$ mod $8$,
segue che $p\equiv -1$ mod $8$. Questo implica che $2$ e' un quadrato modulo $p$ e
quindi che $p$ divide $2^{(p-1)/2} -1$.
Allora $(2^{p-1}-1)/p$ e' il prodotto degli interi $(2^{(p-1)/2} -1)/p$ e $2^{(p-1)/2} +1$. Poiche'
questi due fattori sono coprimi e positivi, tutti e due sono quadrati. In particolare, si ha
che $2^{(p-1)/2}+1=y^2$ e quindi $2^{(p-1)/2}=(y+1)(y-1)$ per qualche $y\in\Z_{>0}$.
Questo implica che sia $y-1$ che $y+1$ sono potenze di due. Le uniche potenze di $2$
che differiscono per $2$, sono $2$ e $4$. Abbiamo quindi che $y=3$ e $p=7$.
Va bene
Propongo una mia soluzione
${2^{p-1}-1}/p = k^2$
la cosa non si verifica per $p=2$, quindi $p-1$ è pari.
$(2^{{p-1}/2} -1)(2^{{p-1}/2} +1)=pk^2$
I fattori al primo membro differiscono l'uno dall'altro di $2$, quindi il loro MCD vale massimo $2$. Ma siccome ${p-1}/2>0$ essi sono entrambi dispari, quindi concludiamo che sono primi fra loro.
A questo punto è facile notare che esattamente uno dei due deve essere un quadrato perfetto. Distinguiamo i due casi
I)
$2^{{p-1}/2} +1 = n^2$
$2^{{p-1}/2} = (n+1)(n-1)$
sia $n+1$ che $n-1$ devono essere potenze di $2$. Le uniche potenze di 2
che differiscono di 2 sono 2 e 4, quindi $n=3$ da cui si ricava $p=7$. E si verifica che questa è effettivamente una soluzione.
II)
$2^{{p-1}/2} -1 = n^2$
$2^{{p-1}/2} -2 = n^2 -1$
$2(2^{{p-1}/2-1}-1) = (n+1)(n-1)$
Con $n$ pari l'uguaglianza ovviamente è falsa.
Con $n$ dispari maggiore di $1$ si ha che $4|(n+1)(n-1)$ allora $2|2^{{p-1}/2-1}-1$
ma ciò è falso per ${p-1}/2-1>0$. E con ${p-1}/2-1=0$ si ha $n=0$ che non è maggiore di 1.
Infine considero $n=1$, da cui risulta $p=3$, che andando a verificare è effettivamente una delle soluzioni.
${2^{p-1}-1}/p = k^2$
la cosa non si verifica per $p=2$, quindi $p-1$ è pari.
$(2^{{p-1}/2} -1)(2^{{p-1}/2} +1)=pk^2$
I fattori al primo membro differiscono l'uno dall'altro di $2$, quindi il loro MCD vale massimo $2$. Ma siccome ${p-1}/2>0$ essi sono entrambi dispari, quindi concludiamo che sono primi fra loro.
A questo punto è facile notare che esattamente uno dei due deve essere un quadrato perfetto. Distinguiamo i due casi
I)
$2^{{p-1}/2} +1 = n^2$
$2^{{p-1}/2} = (n+1)(n-1)$
sia $n+1$ che $n-1$ devono essere potenze di $2$. Le uniche potenze di 2
che differiscono di 2 sono 2 e 4, quindi $n=3$ da cui si ricava $p=7$. E si verifica che questa è effettivamente una soluzione.
II)
$2^{{p-1}/2} -1 = n^2$
$2^{{p-1}/2} -2 = n^2 -1$
$2(2^{{p-1}/2-1}-1) = (n+1)(n-1)$
Con $n$ pari l'uguaglianza ovviamente è falsa.
Con $n$ dispari maggiore di $1$ si ha che $4|(n+1)(n-1)$ allora $2|2^{{p-1}/2-1}-1$
ma ciò è falso per ${p-1}/2-1>0$. E con ${p-1}/2-1=0$ si ha $n=0$ che non è maggiore di 1.
Infine considero $n=1$, da cui risulta $p=3$, che andando a verificare è effettivamente una delle soluzioni.
L'ho fatta simile alla tua, tranne nel secondo caso dove ho fatto modulo 4.
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