Due problemi a caso
1) Un mago fa questa magia: distribuisce i 90 numeri della tombola in 5 sacchetti, contenenti ognuno 18 numeri.. Dopodichè chiede alla gente di estrarre due numeri da un sacchetto e di dirgli qual è l'ultima cifra della loro somma. Saputo ciò il mago riesce a indovinare da quale sacchetto sono stati presi.. Chi riesce a sgamarlo? 
2) Ad un torneo di calcio, sola andata, partecipano \(\displaystyle 2n \) squadre. C'è una squadra che vince da sola il torneo. Quante partite può aver perso al massimo la squadra che vince? NB: inizialmente non mi veniva il risultato esatto.. ma controllando ho visto che ogni vittoria vale 2 punti anzichè 3 (forse è un problema vecchio
)
2) Ad un torneo di calcio, sola andata, partecipano \(\displaystyle 2n \) squadre. C'è una squadra che vince da sola il torneo. Quante partite può aver perso al massimo la squadra che vince? NB: inizialmente non mi veniva il risultato esatto.. ma controllando ho visto che ogni vittoria vale 2 punti anzichè 3 (forse è un problema vecchio
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Risposte
1)
(a1,0) con (a2,5)
(a1,1) con (a2,6)
(a1,2) con (a2,7)
(a1,3) con (a2,8)
(a1,4) con (a2,9)
(a1,0) con (a2,5)
(a1,1) con (a2,6)
(a1,2) con (a2,7)
(a1,3) con (a2,8)
(a1,4) con (a2,9)
Ok, se ho interpretato bene ciò che hai scritto va bene!
2)
n
n
"luluemicia":
2)
n
Ogni squadra gioca 2n - 1 partite quindi la prima classificata non può perderne più della metà...
Il primo non l'ho capito molto, o meglio non ho capito ciò che ha scritto mirco, dato che non conosco la soluzione...
Da esperto di calcio (
) posso rispondere al secondo.
La mia idea a riguardo è quella di supporre che tutte le squadre, ad eccezione di quella campione, abbiano pareggiato tra di loro. Questo perché se due squadre pareggiano si assegnano due punti anziché tre e (in media) alle altre squadre conviene. Quindi se supponiamo che le 2n-1 squadre abbiano fatto tra di loro 2n-2 punti, ne consegue che la squadra vincitrice deve aver fatto almeno tale punteggio. Si richiede il numero massimo di sconfitte che può aver fatto quest'ultima. Quindi io le darei tante vittorie quante bastano per vincere il campionato, e il resto sconfitte. D'altronde qualche squadra dovrà aver vinto contro i campioni, e quindi la seconda avrà 2n+1 punti. La squadra che vince il torneo dovrà fare quindi almeno 2n+2 punti. E quindi essendo il punteggio massimo disponibile 6n-3, potrà perderne 4n-5, quindi circa i 2/3. Ovviamente questo è possibile se n è molto grande. In un girone a 4 potrà capitare che la vincitrice perda 1 partita, di certo non 2.
Questo è il mio ragionamento nel caso di vittoria a 3 punti, che è molto più complesso del caso di vittoria a 2. Ora non ho molto tempo, per cui verificherò l'altro con calma più avanti.
Da esperto di calcio (
) posso rispondere al secondo.La mia idea a riguardo è quella di supporre che tutte le squadre, ad eccezione di quella campione, abbiano pareggiato tra di loro. Questo perché se due squadre pareggiano si assegnano due punti anziché tre e (in media) alle altre squadre conviene. Quindi se supponiamo che le 2n-1 squadre abbiano fatto tra di loro 2n-2 punti, ne consegue che la squadra vincitrice deve aver fatto almeno tale punteggio. Si richiede il numero massimo di sconfitte che può aver fatto quest'ultima. Quindi io le darei tante vittorie quante bastano per vincere il campionato, e il resto sconfitte. D'altronde qualche squadra dovrà aver vinto contro i campioni, e quindi la seconda avrà 2n+1 punti. La squadra che vince il torneo dovrà fare quindi almeno 2n+2 punti. E quindi essendo il punteggio massimo disponibile 6n-3, potrà perderne 4n-5, quindi circa i 2/3. Ovviamente questo è possibile se n è molto grande. In un girone a 4 potrà capitare che la vincitrice perda 1 partita, di certo non 2.
Questo è il mio ragionamento nel caso di vittoria a 3 punti, che è molto più complesso del caso di vittoria a 2. Ora non ho molto tempo, per cui verificherò l'altro con calma più avanti.
Chiaramente, dopo aver riflettuto, nel problema 2 si dovrebbe assumere la vittoria a 2 punti. Con la vittoria a 3 punti non c'è simmetria ed è difficile se non impossibile determinare al variare di n la soluzione (basti pensare che, fissato n, la somma dei punti in classifica delle 2n squadre è variabile).
Con la vittoria a 2 punti, basta ipotizzare che la prima faccia 2n punti, l'ultima 2n-2 e tutte le altre 2n-1 (ossia tutte hanno fatto 1 punto a partita, e la prima ha tolto un punto all'ultima). In questo caso per massimizzare le sconfitte della vincitrice bisognerà anche massimizzare le vittorie. Si vede subito che se n è il numero di vittorie, allora n-1 sarà il numero di sconfitte.
Per come è posto il problema quindi diciamo che è antecedente al 1994?
Con la vittoria a 2 punti, basta ipotizzare che la prima faccia 2n punti, l'ultima 2n-2 e tutte le altre 2n-1 (ossia tutte hanno fatto 1 punto a partita, e la prima ha tolto un punto all'ultima). In questo caso per massimizzare le sconfitte della vincitrice bisognerà anche massimizzare le vittorie. Si vede subito che se n è il numero di vittorie, allora n-1 sarà il numero di sconfitte.
Per come è posto il problema quindi diciamo che è antecedente al 1994?
Per quanto riguarda il primo problema, il primo sacchetto conterrà tutti i numeri che terminano con 1 o 6, il secondo quelli che terminano con 2 e 7, il terzo quelli che terminano con 3 e 8, il quarto quelli che terminano con 4 e 9, il quinto quelli che terminano con 5 e 0.
a MaMo pardon, ovviamente n-1
a marco9999: mi trovo sui punteggi ottenuti ma non concordo sul come: ogni squadra con 2n-1 punti ha vinto una partita (con la prima o con un'altra delle squadre a 2n-1 punti) e persa una (con un'altra delle squadre a pari punti o con la prima), l'ultima ne ha persa una (con la prima) senza mai vincere. Ti trovi?
a marco9999: mi trovo sui punteggi ottenuti ma non concordo sul come: ogni squadra con 2n-1 punti ha vinto una partita (con la prima o con un'altra delle squadre a 2n-1 punti) e persa una (con un'altra delle squadre a pari punti o con la prima), l'ultima ne ha persa una (con la prima) senza mai vincere. Ti trovi?
dimostrare dimostrare
luluemicia
non esattamente. Ti faccio un esempio che possa chiarire. Supponiamo che il numero delle squadre sia 20, allora la classifica finale potrebbe essere:
1° 20 punti
2° 19 punti
...
19° 19 punti
20° 18 punti
e su questo siamo d'accordo. Ora supponi che la prima abbia vinto 10 partite e ne abbia perse 9. Puoi pensare che le 9 sconfitte le abbia subite contro le squadre dalla 2° alla 10° posizione. Escludendo i risultati che coinvolgono la vincitrice, e compilando la classifica "avulsa" tra le altre 19 squadre, si ha che 9 squadre hanno fatto 19 punti, 1 ne ha fatti 18 e 9 ne hanno fatti 17. Prova a immaginare che tutte le partite tra di loro siano finite in parità, ad eccezione di 9 partite che hanno visto una squadra da 19 battere una da 17. Una classifica così, anche se praticamente irrealizzabile, è teoricamente possibile. Ovviamente il discorso si può estendere ad un n qualsiasi, mi era più facile spiegare dando un valore preciso ad n...
Ti è chiaro adesso?
non esattamente. Ti faccio un esempio che possa chiarire. Supponiamo che il numero delle squadre sia 20, allora la classifica finale potrebbe essere:
1° 20 punti
2° 19 punti
...
19° 19 punti
20° 18 punti
e su questo siamo d'accordo. Ora supponi che la prima abbia vinto 10 partite e ne abbia perse 9. Puoi pensare che le 9 sconfitte le abbia subite contro le squadre dalla 2° alla 10° posizione. Escludendo i risultati che coinvolgono la vincitrice, e compilando la classifica "avulsa" tra le altre 19 squadre, si ha che 9 squadre hanno fatto 19 punti, 1 ne ha fatti 18 e 9 ne hanno fatti 17. Prova a immaginare che tutte le partite tra di loro siano finite in parità, ad eccezione di 9 partite che hanno visto una squadra da 19 battere una da 17. Una classifica così, anche se praticamente irrealizzabile, è teoricamente possibile. Ovviamente il discorso si può estendere ad un n qualsiasi, mi era più facile spiegare dando un valore preciso ad n...
Ti è chiaro adesso?
Ricapitolando xxstephxx, una possibilità è la seguente:
La 1° ha perso contro le squadre dalla 2° alla n° posizione e ha vinto contro le altre n.
La 2° ha perso contro la (2n-1)°, la 3° contro la (2n-2)°, ... , la n° contro la (n+1)°.
Tutte le altre gare sono finite in parità.
In questo modo la prima avrà fatto 2n punti con n vittorie, 0 pareggi e n-1 sconfitte, l'ultima 2n-2 con 0 vittorie, 2n-2 pareggi e 1 sconfitta, tutte le altre 2n-1, con 1 vittoria, 2n-3 pareggi e 1 sconfitta
La 1° ha perso contro le squadre dalla 2° alla n° posizione e ha vinto contro le altre n.
La 2° ha perso contro la (2n-1)°, la 3° contro la (2n-2)°, ... , la n° contro la (n+1)°.
Tutte le altre gare sono finite in parità.
In questo modo la prima avrà fatto 2n punti con n vittorie, 0 pareggi e n-1 sconfitte, l'ultima 2n-2 con 0 vittorie, 2n-2 pareggi e 1 sconfitta, tutte le altre 2n-1, con 1 vittoria, 2n-3 pareggi e 1 sconfitta
a marco 1999: quello che hai detto nei tuoi ultimi due post è quello che ho detto io; in quello tuo ancora precedente sembrava che pensavi a un campionato con tutti pareggi tranne una sola partita nello stesso momento in cui non attribuivi alcun pareggio alla prima!
Ho capito quello che intendi. In realtà con 1 punto a partita intendevo 1 punto in media a partita, non tutti pareggi.
Riguardo al procedimento, l'avevo pensato già da molto prima, è che l'ho scritto senza leggere prima il tuo, ingannato forse dal fatto che tu mi avevi detto che eravamo discordi sul come. Pensando io di avere la soluzione esatta, credevo erroneamente che la tua fosse sbagliata. Pardon! E' per questo che poi non ho neanche avuto l'accortezza di verificare che effettivamente ciò che tu avevi scritto era giusto! E' stato un fraintendimento, chiaramente siamo d'accordo sulla soluzione...
Riguardo al procedimento, l'avevo pensato già da molto prima, è che l'ho scritto senza leggere prima il tuo, ingannato forse dal fatto che tu mi avevi detto che eravamo discordi sul come. Pensando io di avere la soluzione esatta, credevo erroneamente che la tua fosse sbagliata. Pardon! E' per questo che poi non ho neanche avuto l'accortezza di verificare che effettivamente ciò che tu avevi scritto era giusto! E' stato un fraintendimento, chiaramente siamo d'accordo sulla soluzione...
sì, d'accordo
ciao
ciao
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