Due matematici
A due matematici perfetti (traduzione di "perfect logicians" non so se è corretta....), S e P , è chiesto di trovare due interi x e y scelti in modo tale che 1 < x < y e x+y < 100. Ad S è dato il valore di x+y e a P quello di xy. Successivamente hanno la seguente conversazione.
P: Non posso determinare i due numeri
S: Lo sapevo.
P: Ora li posso determinare.
S: Si, adesso posso anche io.
Prendendo per vere le affermazioni dei due matematici, potreste determinare quali sono i due numeri?
Vorrei ragionarci su insieme a voi.
Hold fast
P: Non posso determinare i due numeri
S: Lo sapevo.
P: Ora li posso determinare.
S: Si, adesso posso anche io.
Prendendo per vere le affermazioni dei due matematici, potreste determinare quali sono i due numeri?
Vorrei ragionarci su insieme a voi.
Hold fast
Risposte
se P conoscendo xy non può determinare x e y significa che almeno uno di essi non è un numero primo, altrimenti x e y potrebbero essere ottenuti fattorizzando xy.
Paolo, potresti postare il testo originale in inglese?
Paolo, potresti postare il testo originale in inglese?
non sono stato chiaro eh? mi spiace...
Two perfect logicians, S and P, are told that integers x and y have been chosen such that 1 < x < y and x+y < 100. S is given the value x+y and P is given the value xy. They then have the following conversation.
P: I cannot determine the two numbers.
S: I knew that.
P: Now I can determine them.
S: So can I.
Given that the above statements are true, what are the two numbers?
eppure mi sembra di averlo tradotto bene!!!
Hold fast
Two perfect logicians, S and P, are told that integers x and y have been chosen such that 1 < x < y and x+y < 100. S is given the value x+y and P is given the value xy. They then have the following conversation.
P: I cannot determine the two numbers.
S: I knew that.
P: Now I can determine them.
S: So can I.
Given that the above statements are true, what are the two numbers?
eppure mi sembra di averlo tradotto bene!!!
Hold fast
Cmq sia ho anche la soluzione del problema ma non voglio gaurdarla cmq dopo la possso postare
Hold fast
Hold fast
è anche possibile che ci siano giochi di parole intraducibili... ad esempio perchè viene messo l'aggettivo "perfect"?
forse nel senso che non si possono sbagliare? e che quindi le affermazioni sono da prendere completamente per vere?..........però lo dice anche alla fine di farlo.....quindi porprio non lo so!!!
Hold fast
Hold fast
Accidenti a me, ho letto la soluzione.....maledetta curiosità.
Comunque non era alla mia portata
Hold fast
Comunque non era alla mia portata
Hold fast
I due numeri sono 4 e 13
karl.
karl.
Esatto karl! Il procedimento ti è sembrato facile o difficile? Perchè sul sito dove l'ho pescato ce ne sono tantissimi altri e magari potrei pubblicarli qui un po per volta...e magari ,come ho scritto nel mio primo post, vorrei affrontarne un paio difficilotti ragionando con un procedimento "collettivo"
Hold fast
Hold fast
questo esercizio richiede o tanta pazienza o almeno un computer per fare le verifiche sul computer!!!
I numeri sono 13 e 4 anche se gli stessi x e y vengono scelti in un intervallo compreso tra 2 e 100 senza nessuna altra restrizione!
Ma il ragionamento è pieno di calcoli soprattutto per il prodotto!!
I numeri sono 13 e 4 anche se gli stessi x e y vengono scelti in un intervallo compreso tra 2 e 100 senza nessuna altra restrizione!
Ma il ragionamento è pieno di calcoli soprattutto per il prodotto!!
nonostante serva un computer, propongo di provare a capire che dati dobbiamo dargli.
dalla prima frase si ricava che x e y non sono entrambi primi
cosa può significare la risposta S: Lo sapevo. ???
dalla prima frase si ricava che x e y non sono entrambi primi
cosa può significare la risposta S: Lo sapevo. ???
la risposta "lo sapevo" implica che la somma non è pari
se la somma fosse pari i due numeri potrebbero essere entrambi primi (per la congettura di goldbach che è vera per questi piccoli numeri)
quindi con una somma pari S non potrebbe essere certo che p non ha la risposta.
se la somma fosse pari i due numeri potrebbero essere entrambi primi (per la congettura di goldbach che è vera per questi piccoli numeri)
quindi con una somma pari S non potrebbe essere certo che p non ha la risposta.
con un ragionamento a ritroso conoscendo la risposta (4,13) in pratica P ha 52 in mano
esso è 26*2 oppure 13*4
ma 26+2 è pari
13+4 è dispari
se la coppia vera fosse (26,2) S non potrebbe dire "lo sapevo". quando S si "tradisce" P elimina la coppia (26,2) e sa che la coppia è (13,4)
esso è 26*2 oppure 13*4
ma 26+2 è pari
13+4 è dispari
se la coppia vera fosse (26,2) S non potrebbe dire "lo sapevo". quando S si "tradisce" P elimina la coppia (26,2) e sa che la coppia è (13,4)
Per risolvere il problema bisogna porsi ora da un nuovo punto di vista: quello di un osservatore esterno che, ascoltando il dialogo dei due professori e conoscendo il range del problema, riesce a dedurre quali sono i numeri s, p e trovare di conseguenza x, y.
Seguiamo ancora una volta il dialogo.
Prof. Prodotto: "Non posso determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Prodotto ha un numero P-ambiguo.
Nel range [2-100] i numeri P-ambigui sono 3157. Evito di elencarli qui sotto, ma possono essere trovati con molta pazienza o con un semplice programma.
Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non potevi determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Somma ha un numero SP-ambiguo.
Nel range [2-100] i numeri SP-ambigui sono 10 e per la precisione: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53
Anche questi possono essere trovati con molta pazienza o con un semplice programma.
Prof. Prodotto: "Ora posso determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Prodotto ha un numero P-ambiguo, p, a cui corrisponde UNO e UNO SOLO numero SP-ambiguo.
Ebbene, nel range [2-100], esistono 86 numeri di questo tipo.
Riporto l'elenco, che è indispensabile per concludere il problema.
I numeri che può avere il prof. Prodotto sono quelli della terza colonna.
x= 4 - y= 7 - p= 28 - s= 11
x= 3 - y= 8 - p= 24 - s= 11
x= 2 - y= 9 - p= 18 - s= 11
x= 4 - y= 13 - p= 52 - s= 17
x= 10 - y= 13 - p= 130 - s= 23
x= 7 - y= 16 - p= 112 - s= 23
x= 4 - y= 19 - p= 76 - s= 23
x= 13 - y= 14 - p= 182 - s= 27
x= 11 - y= 16 - p= 176 - s= 27
x= 10 - y= 17 - p= 170 - s= 27
x= 9 - y= 18 - p= 162 - s= 27
x= 8 - y= 19 - p= 152 - s= 27
x= 7 - y= 20 - p= 140 - s= 27
x= 5 - y= 22 - p= 110 - s= 27
x= 4 - y= 23 - p= 92 - s= 27
x= 2 - y= 25 - p= 50 - s= 27
x= 13 - y= 16 - p= 208 - s= 29
x= 12 - y= 17 - p= 204 - s= 29
x= 11 - y= 18 - p= 198 - s= 29
x= 10 - y= 19 - p= 190 - s= 29
x= 8 - y= 21 - p= 168 - s= 29
x= 7 - y= 22 - p= 154 - s= 29
x= 6 - y= 23 - p= 138 - s= 29
x= 4 - y= 25 - p= 100 - s= 29
x= 2 - y= 27 - p= 54 - s= 29
x= 17 - y= 18 - p= 306 - s= 35
x= 16 - y= 19 - p= 304 - s= 35
x= 14 - y= 21 - p= 294 - s= 35
x= 12 - y= 23 - p= 276 - s= 35
x= 10 - y= 25 - p= 250 - s= 35
x= 9 - y= 26 - p= 234 - s= 35
x= 8 - y= 27 - p= 216 - s= 35
x= 6 - y= 29 - p= 174 - s= 35
x= 4 - y= 31 - p= 124 - s= 35
x= 3 - y= 32 - p= 96 - s= 35
x= 17 - y= 20 - p= 340 - s= 37
x= 16 - y= 21 - p= 336 - s= 37
x= 10 - y= 27 - p= 270 - s= 37
x= 9 - y= 28 - p= 252 - s= 37
x= 8 - y= 29 - p= 232 - s= 37
x= 6 - y= 31 - p= 186 - s= 37
x= 5 - y= 32 - p= 160 - s= 37
x= 19 - y= 22 - p= 418 - s= 41
x= 18 - y= 23 - p= 414 - s= 41
x= 17 - y= 24 - p= 408 - s= 41
x= 16 - y= 25 - p= 400 - s= 41
x= 15 - y= 26 - p= 390 - s= 41
x= 14 - y= 27 - p= 378 - s= 41
x= 13 - y= 28 - p= 364 - s= 41
x= 12 - y= 29 - p= 348 - s= 41
x= 10 - y= 31 - p= 310 - s= 41
x= 9 - y= 32 - p= 288 - s= 41
x= 7 - y= 34 - p= 238 - s= 41
x= 4 - y= 37 - p= 148 - s= 41
x= 3 - y= 38 - p= 114 - s= 41
x= 23 - y= 24 - p= 552 - s= 47
x= 22 - y= 25 - p= 550 - s= 47
x= 20 - y= 27 - p= 540 - s= 47
x= 19 - y= 28 - p= 532 - s= 47
x= 18 - y= 29 - p= 522 - s= 47
x= 17 - y= 30 - p= 510 - s= 47
x= 16 - y= 31 - p= 496 - s= 47
x= 15 - y= 32 - p= 480 - s= 47
x= 13 - y= 34 - p= 442 - s= 47
x= 10 - y= 37 - p= 370 - s= 47
x= 7 - y= 40 - p= 280 - s= 47
x= 6 - y= 41 - p= 246 - s= 47
x= 4 - y= 43 - p= 172 - s= 47
x= 26 - y= 27 - p= 702 - s= 53
x= 25 - y= 28 - p= 700 - s= 53
x= 24 - y= 29 - p= 696 - s= 53
x= 23 - y= 30 - p= 690 - s= 53
x= 22 - y= 31 - p= 682 - s= 53
x= 21 - y= 32 - p= 672 - s= 53
x= 20 - y= 33 - p= 660 - s= 53
x= 19 - y= 34 - p= 646 - s= 53
x= 18 - y= 35 - p= 630 - s= 53
x= 17 - y= 36 - p= 612 - s= 53
x= 16 - y= 37 - p= 592 - s= 53
x= 15 - y= 38 - p= 570 - s= 53
x= 13 - y= 40 - p= 520 - s= 53
x= 12 - y= 41 - p= 492 - s= 53
x= 10 - y= 43 - p= 430 - s= 53
x= 8 - y= 45 - p= 360 - s= 53
x= 6 - y= 47 - p= 282 - s= 53
x= 5 - y= 48 - p= 240 - s= 53
Prof. Somma: "In questo caso, anch'io posso determinare i due numeri."
I numeri che può avere il prof. Somma sono quelli della quarta colonna dell'elenco precedente.
Ebbene, se il prof. Somma è in grado di pronunciare quella frase, è perché ha il numero 17.
Infatti il 17 è l'unico numero SP-ambiguo a cui corrisponde uno e uno solo numero P-ambiguo.
Se, ad esempio il prof. Somma avesse il numero 23 non potrebbe decidere quale dei numeri 130, 112, 76 avrebbe il prof. Prodotto. Stesso discorso per gli altri numeri: 11, 27, 29, 35, e così via.
Il numero P-ambiguo cercato è quindi il 52, mentre il numero SP-ambiguo è il 17.
Da ciò si deduce finalmente:
s = 17
p = 52
x = 4
y = 13
Seguiamo ancora una volta il dialogo.
Prof. Prodotto: "Non posso determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Prodotto ha un numero P-ambiguo.
Nel range [2-100] i numeri P-ambigui sono 3157. Evito di elencarli qui sotto, ma possono essere trovati con molta pazienza o con un semplice programma.
Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non potevi determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Somma ha un numero SP-ambiguo.
Nel range [2-100] i numeri SP-ambigui sono 10 e per la precisione: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53
Anche questi possono essere trovati con molta pazienza o con un semplice programma.
Prof. Prodotto: "Ora posso determinare i due numeri."
Questa frase ci permette di dedurre che il prof. Prodotto ha un numero P-ambiguo, p, a cui corrisponde UNO e UNO SOLO numero SP-ambiguo.
Ebbene, nel range [2-100], esistono 86 numeri di questo tipo.
Riporto l'elenco, che è indispensabile per concludere il problema.
I numeri che può avere il prof. Prodotto sono quelli della terza colonna.
x= 4 - y= 7 - p= 28 - s= 11
x= 3 - y= 8 - p= 24 - s= 11
x= 2 - y= 9 - p= 18 - s= 11
x= 4 - y= 13 - p= 52 - s= 17
x= 10 - y= 13 - p= 130 - s= 23
x= 7 - y= 16 - p= 112 - s= 23
x= 4 - y= 19 - p= 76 - s= 23
x= 13 - y= 14 - p= 182 - s= 27
x= 11 - y= 16 - p= 176 - s= 27
x= 10 - y= 17 - p= 170 - s= 27
x= 9 - y= 18 - p= 162 - s= 27
x= 8 - y= 19 - p= 152 - s= 27
x= 7 - y= 20 - p= 140 - s= 27
x= 5 - y= 22 - p= 110 - s= 27
x= 4 - y= 23 - p= 92 - s= 27
x= 2 - y= 25 - p= 50 - s= 27
x= 13 - y= 16 - p= 208 - s= 29
x= 12 - y= 17 - p= 204 - s= 29
x= 11 - y= 18 - p= 198 - s= 29
x= 10 - y= 19 - p= 190 - s= 29
x= 8 - y= 21 - p= 168 - s= 29
x= 7 - y= 22 - p= 154 - s= 29
x= 6 - y= 23 - p= 138 - s= 29
x= 4 - y= 25 - p= 100 - s= 29
x= 2 - y= 27 - p= 54 - s= 29
x= 17 - y= 18 - p= 306 - s= 35
x= 16 - y= 19 - p= 304 - s= 35
x= 14 - y= 21 - p= 294 - s= 35
x= 12 - y= 23 - p= 276 - s= 35
x= 10 - y= 25 - p= 250 - s= 35
x= 9 - y= 26 - p= 234 - s= 35
x= 8 - y= 27 - p= 216 - s= 35
x= 6 - y= 29 - p= 174 - s= 35
x= 4 - y= 31 - p= 124 - s= 35
x= 3 - y= 32 - p= 96 - s= 35
x= 17 - y= 20 - p= 340 - s= 37
x= 16 - y= 21 - p= 336 - s= 37
x= 10 - y= 27 - p= 270 - s= 37
x= 9 - y= 28 - p= 252 - s= 37
x= 8 - y= 29 - p= 232 - s= 37
x= 6 - y= 31 - p= 186 - s= 37
x= 5 - y= 32 - p= 160 - s= 37
x= 19 - y= 22 - p= 418 - s= 41
x= 18 - y= 23 - p= 414 - s= 41
x= 17 - y= 24 - p= 408 - s= 41
x= 16 - y= 25 - p= 400 - s= 41
x= 15 - y= 26 - p= 390 - s= 41
x= 14 - y= 27 - p= 378 - s= 41
x= 13 - y= 28 - p= 364 - s= 41
x= 12 - y= 29 - p= 348 - s= 41
x= 10 - y= 31 - p= 310 - s= 41
x= 9 - y= 32 - p= 288 - s= 41
x= 7 - y= 34 - p= 238 - s= 41
x= 4 - y= 37 - p= 148 - s= 41
x= 3 - y= 38 - p= 114 - s= 41
x= 23 - y= 24 - p= 552 - s= 47
x= 22 - y= 25 - p= 550 - s= 47
x= 20 - y= 27 - p= 540 - s= 47
x= 19 - y= 28 - p= 532 - s= 47
x= 18 - y= 29 - p= 522 - s= 47
x= 17 - y= 30 - p= 510 - s= 47
x= 16 - y= 31 - p= 496 - s= 47
x= 15 - y= 32 - p= 480 - s= 47
x= 13 - y= 34 - p= 442 - s= 47
x= 10 - y= 37 - p= 370 - s= 47
x= 7 - y= 40 - p= 280 - s= 47
x= 6 - y= 41 - p= 246 - s= 47
x= 4 - y= 43 - p= 172 - s= 47
x= 26 - y= 27 - p= 702 - s= 53
x= 25 - y= 28 - p= 700 - s= 53
x= 24 - y= 29 - p= 696 - s= 53
x= 23 - y= 30 - p= 690 - s= 53
x= 22 - y= 31 - p= 682 - s= 53
x= 21 - y= 32 - p= 672 - s= 53
x= 20 - y= 33 - p= 660 - s= 53
x= 19 - y= 34 - p= 646 - s= 53
x= 18 - y= 35 - p= 630 - s= 53
x= 17 - y= 36 - p= 612 - s= 53
x= 16 - y= 37 - p= 592 - s= 53
x= 15 - y= 38 - p= 570 - s= 53
x= 13 - y= 40 - p= 520 - s= 53
x= 12 - y= 41 - p= 492 - s= 53
x= 10 - y= 43 - p= 430 - s= 53
x= 8 - y= 45 - p= 360 - s= 53
x= 6 - y= 47 - p= 282 - s= 53
x= 5 - y= 48 - p= 240 - s= 53
Prof. Somma: "In questo caso, anch'io posso determinare i due numeri."
I numeri che può avere il prof. Somma sono quelli della quarta colonna dell'elenco precedente.
Ebbene, se il prof. Somma è in grado di pronunciare quella frase, è perché ha il numero 17.
Infatti il 17 è l'unico numero SP-ambiguo a cui corrisponde uno e uno solo numero P-ambiguo.
Se, ad esempio il prof. Somma avesse il numero 23 non potrebbe decidere quale dei numeri 130, 112, 76 avrebbe il prof. Prodotto. Stesso discorso per gli altri numeri: 11, 27, 29, 35, e così via.
Il numero P-ambiguo cercato è quindi il 52, mentre il numero SP-ambiguo è il 17.
Da ciò si deduce finalmente:
s = 17
p = 52
x = 4
y = 13
Che brutto problema, se questa è l'unica soluzione possibile (nn ci ho ancora provato a dire la verità, ma nn credo di trovare qualcosa)...Scritto così è un problema di informatica. L'unico punto carino è la scorciatoia Glodbach...
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