Dov'è l'errore?
1) Per dimostrare che $sum_(-infty)^(+infty)x^n=0$ Eulero presentò il seguente procedimento:
$x/(1-x)=x+x^2+x^3+…=sum_1^(+infty)x^n$,
$x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+…=sum_0^(-infty)x^n$.
Quindi sommando, $sum_(-infty)^(+infty)x^n=x/(1-x)+x/(x-1)=0$.
Spiegare l’errore commesso.
2) Si consideri il limite $lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)$,
$ sqrt(1+4/x+1/x^2)->1$ per $x->+infty$, quindi
$lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)= lim_(x->+infty)10^(2x)/10^(2x)=1$.
Tuttavia il limite è $10^4$. Spiegare l'errore commesso.
3) Integrando per parti $int1/xdx$ si ha:
$int1/xdx=int1*1/xdx=x*1/x-intx*(-1/x^2)dx=1+int1/xdx$, quindi
$int1/xdx=1+int1/xdx$
$int1/xdx-int1/xdx=1
[size=150]0=1[/size].
Spiegare l’errore commesso.
4) [size=150]Il paradosso di Simpson [/size]( che sia un parente di [size=150]Homer Simpson?[/size]).
Una nuova cura per una certa malattia è diventata disponibile ma è ancora sperimentale e molto costosa. In una clinica universitaria con un grosso bilancio si divide a caso un campione casuale di pazienti con quella malattia in due gruppi: uno di 90 e l’altro di 10 pazienti. Il gruppo più grande viene curato e 30 di questi ammalati presentano chiari miglioramenti, mentre soltanto uno dei pazienti dell’altro gruppo sembra migliorare. In un ospedale comunale che ha un bilancio più modesto si fa lo stesso test, però per il gruppo più piccolo. In questo 9 ammalati hanno un miglioramento mentre nell’altro gruppo soltanto la metà. In ogni caso, la cura sembra essere efficiente. Però se vediamo il tutto come un campione di 200 persone, 100 delle quali curate, emerge un quadro differente. Dei pazienti curati migliorano 39, degli altri migliorano 46. Ciò sembra suggerire che la cura in realtà diminuisca di qualche possibilità la guarigione.
Spiegare l’apparente paradosso.
$x/(1-x)=x+x^2+x^3+…=sum_1^(+infty)x^n$,
$x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+…=sum_0^(-infty)x^n$.
Quindi sommando, $sum_(-infty)^(+infty)x^n=x/(1-x)+x/(x-1)=0$.
Spiegare l’errore commesso.
2) Si consideri il limite $lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)$,
$ sqrt(1+4/x+1/x^2)->1$ per $x->+infty$, quindi
$lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)= lim_(x->+infty)10^(2x)/10^(2x)=1$.
Tuttavia il limite è $10^4$. Spiegare l'errore commesso.
3) Integrando per parti $int1/xdx$ si ha:
$int1/xdx=int1*1/xdx=x*1/x-intx*(-1/x^2)dx=1+int1/xdx$, quindi
$int1/xdx=1+int1/xdx$
$int1/xdx-int1/xdx=1
[size=150]0=1[/size].
Spiegare l’errore commesso.
4) [size=150]Il paradosso di Simpson [/size]( che sia un parente di [size=150]Homer Simpson?[/size]).
Una nuova cura per una certa malattia è diventata disponibile ma è ancora sperimentale e molto costosa. In una clinica universitaria con un grosso bilancio si divide a caso un campione casuale di pazienti con quella malattia in due gruppi: uno di 90 e l’altro di 10 pazienti. Il gruppo più grande viene curato e 30 di questi ammalati presentano chiari miglioramenti, mentre soltanto uno dei pazienti dell’altro gruppo sembra migliorare. In un ospedale comunale che ha un bilancio più modesto si fa lo stesso test, però per il gruppo più piccolo. In questo 9 ammalati hanno un miglioramento mentre nell’altro gruppo soltanto la metà. In ogni caso, la cura sembra essere efficiente. Però se vediamo il tutto come un campione di 200 persone, 100 delle quali curate, emerge un quadro differente. Dei pazienti curati migliorano 39, degli altri migliorano 46. Ciò sembra suggerire che la cura in realtà diminuisca di qualche possibilità la guarigione.
Spiegare l’apparente paradosso.
Risposte
"Piera":
1) Per dimostrare che $sum_(-infty)^(+infty)x^n=0$ Eulero presentò il seguente procedimento:
$x/(1-x)=x+x^2+x^3+…=sum_1^(+infty)x^n$,
$x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+…=sum_0^(-infty)x^n$.
Quindi sommando, $sum_(-infty)^(+infty)x^n=x/(1-x)+x/(x-1)=0$.
Spiegare l’errore commesso.
2) Si consideri il limite $lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)$,
$ sqrt(1+4/x+1/x^2)->1$ per $x->+infty$, quindi
$lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)= lim_(x->+infty)10^(2x)/10^(2x)=1$.
Tuttavia il limite è $10^4$. Spiegare l'errore commesso.
3) Integrando per parti $int1/xdx$ si ha:
$int1/xdx=int1*1/xdx=x*1/x-intx*(-1/x^2)dx=1+int1/xdx$, quindi
$int1/xdx=1+int1/xdx$
$int1/xdx-int1/xdx=1
[size=150]0=1[/size].
Spiegare l’errore commesso.
4) [size=150]Il paradosso di Simpson [/size]( che sia un parente di [size=150]Homer Simpson?[/size]).
Una nuova cura per una certa malattia è diventata disponibile ma è ancora sperimentale e molto costosa. In una clinica universitaria con un grosso bilancio si divide a caso un campione casuale di pazienti con quella malattia in due gruppi: uno di 90 e l’altro di 10 pazienti. Il gruppo più grande viene curato e 30 di questi ammalati presentano chiari miglioramenti, mentre soltanto uno dei pazienti dell’altro gruppo sembra migliorare. In un ospedale comunale che ha un bilancio più modesto si fa lo stesso test, però per il gruppo più piccolo. In questo 9 ammalati hanno un miglioramento mentre nell’altro gruppo soltanto la metà. In ogni caso, la cura sembra essere efficiente. Però se vediamo il tutto come un campione di 200 persone, 100 delle quali curate, emerge un quadro differente. Dei pazienti curati migliorano 39, degli altri migliorano 46. Ciò sembra suggerire che la cura in realtà diminuisca di qualche possibilità la guarigione.
Spiegare l’apparente paradosso.
1)$sum_{n=0}^{+infty}x^n=1/(1-x)$ $<=>$ $|x|<1$
mentre $1/(1-1/x)=sum_{n=-infty}^{0}x^n=sum_{n=0}^{+infty}(1/x)^n$ $<=>$ $|1/x|<1$ $<=>$ $|x|>1$ per cui le due condizioni sono contrastanti, delle due l'una: se $|x|<1$ converge la prima serie e non la seconda e viceversa.
2)E' possibile fare questo procedimento se l'ordine di infinito dei due esponenti è differente, ma se è uguale questo procedimento non va più bene: infatti $lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)=lim_(x->+infty)10^(2x*(sqrt(1+4/x+1/x^2)-1))=10^(infty*0)$
cioè siamo in presenza di una forma indeterminata, per cui il limite andrebbe risolto così:
$lim_(x->+infty)10^(2x*sqrt(1+4/x+1/x^2))/10^(2x)=lim_(x->+infty)10^(2x*(sqrt(1+4/x+1/x^2)-1))$
Ora $sqrt(1+4/x+1/x^2)-1=(4/x+1/x^2)/(sqrt(1+4/x+1/x^2)+1)$ per cui $2x*(sqrt(1+4/x+1/x^2)-1)=(8+2/x)/(sqrt(1+4/x+1/x^2)+1)->8/2=4$ per $x->+infty$, per cui il limite tende a $10^4$
3)$int_{a}^{b}f(x)dx-int_{a}^{b}f(x)dx=0$, mentre $int f(x)dx-int f(x)dx=K$ perchè esistono infinite primitive di una funzione che differiscono per una costante, per cui l'errore sta nel dire $int1/xdx-int1/xdx=0$.
"Piera":
3) Integrando per parti $int1/xdx$ si ha:
$int1/xdx=int1*1/xdx=x*1/x-intx*(-1/x^2)dx=1+int1/xdx$, quindi
$int1/xdx=1+int1/xdx$
$int1/xdx-int1/xdx=1
[size=150]0=1[/size].
Spiegare l’errore commesso.
Se si usa l'integrale indefinito, bisogna aggiunere una costante d'integrazione, cioè
$int f'g = fg +int fg' +c$
per funzioni $f,g\in C^1$.
Infatti, dalla formula di derivazione del prodotto $(fg)'=f'g+fg'$ si ricava $\int (fg)' = \int f'g + \int fg'$, dove, in generale, $int (fg)' = fg + c$.
La formula $\int fg' = int (fg)' - \int f'g$ significa che ogni primitiva di $fg'$ la posso scrivere come la somma tra una primitiva opportuna di $(fg)'$ e una primitiva opportuna $f'g$, quindi la scrittura $int f'g = fg +int fg'$ è sbagliata.
Quello che dice ficus2002 non mi convince del tutto:
in genere la costante la si ingloba nell'integrale $intfg'$.
La differenza dei due integrali indefiniti è $k$ (come dice nicasamarciano) e non 0 e questo è sicuramente un errore. Però secondo me l'errore di fondo è aver portato l'integrale indefinito a primo membro. Questa è un'operazione non lecita, credo che si debba tener conto che l'integrale indefinito non è un numero ma è un insieme di funzioni e non gode di tutte le proprietà delle identità tra numeri.
Si può portare l'integrale indefinito a primo membro cambiato di segno se $ane1$. Sotto questa ipotesi si dimostra che $intf(x)dx=h(x)+aintf(x)dx+intg(x)dx$ può essere riscritto come
$(1-a)intf(x)dx=h(x)+intg(x)dx$ oppure come
$(1-a)intf(x)dx-h(x)=intg(x)dx$.
Spero di non aver sparato cavolate...
Comunque sono ben accetti altri interventi.
in genere la costante la si ingloba nell'integrale $intfg'$.
La differenza dei due integrali indefiniti è $k$ (come dice nicasamarciano) e non 0 e questo è sicuramente un errore. Però secondo me l'errore di fondo è aver portato l'integrale indefinito a primo membro. Questa è un'operazione non lecita, credo che si debba tener conto che l'integrale indefinito non è un numero ma è un insieme di funzioni e non gode di tutte le proprietà delle identità tra numeri.
Si può portare l'integrale indefinito a primo membro cambiato di segno se $ane1$. Sotto questa ipotesi si dimostra che $intf(x)dx=h(x)+aintf(x)dx+intg(x)dx$ può essere riscritto come
$(1-a)intf(x)dx=h(x)+intg(x)dx$ oppure come
$(1-a)intf(x)dx-h(x)=intg(x)dx$.
Spero di non aver sparato cavolate...
Comunque sono ben accetti altri interventi.
"Piera":
Quello che dice ficus2002 non mi convince del tutto:
in genere la costante la si ingloba nell'integrale $intfg'$.
La differenza dei due integrali indefiniti è $k$ (come dice nicasamarciano) e non 0 e questo è sicuramente un errore. Però secondo me l'errore di fondo è aver portato l'integrale indefinito a primo membro. Questa è un'operazione non lecita, credo che si debba tener conto che l'integrale indefinito non è un numero ma è un insieme di funzioni e non gode di tutte le proprietà delle identità tra numeri.
Si può portare l'integrale indefinito a primo membro cambiato di segno se $ane1$. Sotto questa ipotesi si dimostra che $intf(x)dx=h(x)+aintf(x)dx+intg(x)dx$ può essere riscritto come
$(1-a)intf(x)dx=h(x)+intg(x)dx$ oppure come
$(1-a)intf(x)dx-h(x)=intg(x)dx$.
Spero di non aver sparato cavolate...
Comunque sono ben accetti altri interventi.
Si, sono d'accordo con te, è corretto scrivere $\int f'g = fg - \int fg'$, quindi l'errore nasce dal porre $\int f - \int f=0$.
Si, nasce dal porre $intf-intf=0$ e prima ancora dal portare $intf$ a primo membro cambiato di segno come se fosse un numero (se c'era a secondo membro $aintf$, con $ane1$, il procedimento di portarlo a primo membro era corretto).
Almeno credo...
4) [size=150]Il paradosso di Simpson [/size]
Una nuova cura per una certa malattia è diventata disponibile ma è ancora sperimentale e molto costosa. In una clinica universitaria con un grosso bilancio si divide a caso un campione casuale di pazienti con quella malattia in due gruppi: uno di 90 e l’altro di 10 pazienti. Il gruppo più grande viene curato e 30 di questi ammalati presentano chiari miglioramenti, mentre soltanto uno dei pazienti dell’altro gruppo sembra migliorare. In un ospedale comunale che ha un bilancio più modesto si fa lo stesso test, però per il gruppo più piccolo. In questo 9 ammalati hanno un miglioramento mentre nell’altro gruppo soltanto la metà. In ogni caso, la cura sembra essere efficiente. Però se vediamo il tutto come un campione di 200 persone, 100 delle quali curate, emerge un quadro differente. Dei pazienti curati migliorano 39, degli altri migliorano 46. Ciò sembra suggerire che la cura in realtà diminuisca di qualche possibilità la guarigione.
Spiegare l’apparente paradosso.
[size=150]Soluzione[/size]
Definiamo gli eventi
A= il malato guarisce,
B= il malato viene curato,
C= il malato è della clinica,
D= il malato è dell'ospedale.
Il paradosso di Simpson è il seguente:
$P(A|B)=39/100=0,39$, $P(A|bar(B))=46/100=0,46$.
Quindi sembrerebbe che non curarsi migliori le possibilità di guarigione.
In realtà bisogna calcolare e confrontare queste altre probabilità:
$P(A|BnnC)=30/90~~0,33>P(A|bar(B)nnC)=1/10=0,1$,
$P(A|BnnD)=9/10=0,9>P(A|bar(B)nnD)=45/90=0,5$,
dalle quali si vede che la cura migliora le possibilità di guarigione.
Almeno credo...
4) [size=150]Il paradosso di Simpson [/size]
Una nuova cura per una certa malattia è diventata disponibile ma è ancora sperimentale e molto costosa. In una clinica universitaria con un grosso bilancio si divide a caso un campione casuale di pazienti con quella malattia in due gruppi: uno di 90 e l’altro di 10 pazienti. Il gruppo più grande viene curato e 30 di questi ammalati presentano chiari miglioramenti, mentre soltanto uno dei pazienti dell’altro gruppo sembra migliorare. In un ospedale comunale che ha un bilancio più modesto si fa lo stesso test, però per il gruppo più piccolo. In questo 9 ammalati hanno un miglioramento mentre nell’altro gruppo soltanto la metà. In ogni caso, la cura sembra essere efficiente. Però se vediamo il tutto come un campione di 200 persone, 100 delle quali curate, emerge un quadro differente. Dei pazienti curati migliorano 39, degli altri migliorano 46. Ciò sembra suggerire che la cura in realtà diminuisca di qualche possibilità la guarigione.
Spiegare l’apparente paradosso.
[size=150]Soluzione[/size]
Definiamo gli eventi
A= il malato guarisce,
B= il malato viene curato,
C= il malato è della clinica,
D= il malato è dell'ospedale.
Il paradosso di Simpson è il seguente:
$P(A|B)=39/100=0,39$, $P(A|bar(B))=46/100=0,46$.
Quindi sembrerebbe che non curarsi migliori le possibilità di guarigione.
In realtà bisogna calcolare e confrontare queste altre probabilità:
$P(A|BnnC)=30/90~~0,33>P(A|bar(B)nnC)=1/10=0,1$,
$P(A|BnnD)=9/10=0,9>P(A|bar(B)nnD)=45/90=0,5$,
dalle quali si vede che la cura migliora le possibilità di guarigione.
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