Dov'è l'errore?

[Andy Schleck]

Spero sia la sezione più adeguata:
Ho letto uno dei classici links su facebook ma non sono riuscito a trovare una spiegazione.
Ve lo ripropongo:
$1=sqrt(1)=sqrt[ (-1)*(-1)] = sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i = i^2 = -1$
Dov'è che si sbaglia?

E già che ci sono, visto che sono giovincello, vorrei sapere se il risultato di una radice quadrata è un numero positivo per definizione anche nell'insieme dei numeri complessi.

Grazie mille!

[marco99991]

L'errore è chiaramente nella terza delle 6 uguaglianze, per esclusione. Evidentemente non si può effettuare un'operazione di quel tipo (magari qualcun altro potrà confermare)

Nell'insieme dei numeri complessi non credo si possa parlare di numeri positivi o negativi. $1+i$ è positivo o negativo?

[kobeilprofeta]

Secondo me dopo che hai fatto la radice quadrata devi considerare le due soluzioni (positive e negative)
$sqrt(-1)*sqrt(-1)=(+-i)*(+-i)= +-1$ e poi consideri la soluzione positiva

[Pianoth]

Molto più semplicemente, il passaggio errato è il terzo perché il teorema del prodotto dei radicali dice:

"
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia
$root(n)(a)*root(n)(b) = root(n)(a*b)$
con $a$ e $b$ reali, $a \geq 0, b \geq 0$ e $n$ naturale, $n ne 0$
"

Quindi quel passaggio non è valido per quell'ultima frase lì... Che, tra l'altro, è aggiunta proprio per evitare problemi di questo tipo.
Per essere ancora più precisi, dato che in realtà stiamo facendo radici reali e non radici complesse, non possiamo scrivere $i = sqrt(-1)$ perché non ha senso, cosa che può essere invece fatta con le radici complesse: $i = pm sqrt(-1)$.

[Andy Schleck]

"Pianoth":Molto più semplicemente, il passaggio errato è il terzo perché il teorema del prodotto dei radicali dice:

"
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia
$root(n)(a)*root(n)(b) = root(n)(a*b)$
con $a$ e $b$ reali, $a \geq 0, b \geq 0$ e $n$ naturale, $n ne 0$
"

Quindi quel passaggio non è valido per quell'ultima frase lì... Che, tra l'altro, è aggiunta proprio per evitare problemi di questo tipo.
Per essere ancora più precisi, dato che in realtà stiamo facendo radici reali e non radici complesse, non possiamo scrivere $i = sqrt(-1)$ perché non ha senso, cosa che può essere invece fatta con le radici complesse: $i = pm sqrt(-1)$.

Chiarissimo, grazie mille