Dodecaedro

[axpgn]

Se dipingo ogni faccia di un dodecaedro di rosso oppure di blu quanti dodecaedri diversi (ovvero distinguibili tra loro) posso ottenere?

Cordialmente, Alex

[andomito]

Intendiamo, a meno di rotazioni nello spazio, vero?

Ad occhio mi viene 46:
1- tutto rosso
1- una sola faccia blu
3- due facce blu (contigue, opposte o non contigue ma non opposte)
7 - tre facce blu
11 - quattro facce blu
….

Però l'ho trovato brutalmente contando le combinazioni. Non l'ho risolto matematicamente.

[axpgn]

No, non è quello il numero.

Ovviamente l'orientamento del dodecaedro nello spazio non conta niente, due dodecaedri con una faccia blu sono uguali anche se uno ha la faccia blu in alto e l'altro in basso.

[andomito]

Rettifico

dovrebbe essere 38:
1- tutto rosso
1- una sola faccia blu
3- due facce blu (contigue, opposte o non contigue ma non opposte)
5 - tre facce blu (angolo comune, tre in fila "a C", tutti separati, due in fila e uno separato in prossimità della mezzeria, due in fila e uno separato in prossimità di un estremo)
9 - quattro facce blu (tutti attorno ad un lato, tre attorno ad un angolo e l'altro attaccato, tutti in fila "a C", tutti in fila "ad S, tutti in fila "a Z", tre attorno ad un angolo e uno staccato, a gruppi di due di facce opposte, a gruppi di due con due facce non opposte, due accoppiati e due spaiati)
….

Avevo contato come diverse alcune configurazioni sovrapponibili con opportune rotazioni del dodecaedro (es C = U; Z = N ).

[axpgn]

No, non ci siamo.

[Drazen77]

È da tre giorni che faccio prove su prove, ma continuo a perdermi...
Se non ne ho perso qualcuno o non ne contato qualcuno più volte direi 96.

[axpgn]

Fantastico!

Però adesso mi dici che metodo hai usato perché a me viene il mal di testa quando inizio a visualizzare dodecaedri con quattro facce delle stesso colore …

Puoi mostrare anche la distribuzione? Ovvero …

$12 - 0 : 2$
$11 - 1 : 2$
$10 - 2 : 6$
$ …………$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Visualizzando mentalmente c'è da impazzire...
ho usato un programma 3D in cui ho colorato due facce del dodecaedro, poi tre, poi quattro, ecc.
Per ogni configurazione ho poi ruotato avanti e indietro il dodecaedro cercando di capire se stessi facendo delle ripetizioni, che dovevo eliminare.
Dopo tre giorni di mal di testa ho trovato 96 combinazioni e ho pensato che più o meno il numero fosse vicino a quello.

[andomito]

"axpgn":No, non ci siamo.

già, mi son reso conto che mi ero "dimenticato" le combinazioni con 5 e 6 facce uguali.

[axpgn]

@Drazen77

"Drazen77":ho usato un programma 3D in cui ho colorato due facce del dodecaedro, poi tre, poi quattro, ecc.
Per ogni configurazione ho poi ruotato avanti e indietro il dodecaedro cercando di capire se stessi facendo delle ripetizioni, che dovevo eliminare.

Eh, proprio quello che volevo!
Io un po' ho usato la logica per ridurre le combinazioni possibili di volta in volta, poi "dipingevo" qualche disegno in 2D cercando poi di immaginare cosa potesse venire ruotandolo …

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Ho trovato questa soluzione matematica.
Decisamente più elegante...
Ma se al posto di chiederci di ragionare con due colori ne avessi chiesti tre, chi ci sarebbe arrivato?

Nelle formule n=numero di colori.

[axpgn]

Ma su OEIS c'è proprio tutto

"Drazen77":Ma se al posto di chiederci di ragionare con due colori ne avessi chiesti tre, chi ci sarebbe arrivato?

Beh, non sono così cattivo, già due mi sembravano abbastanza