Divisioni del piano
trovare in quante parti viene diviso al massimo un piano da $n$ rette
Risposte
Diciamo per ipotesi che le rette sono tutte distinte, non vi sono coppie di
rette parallele e tre o più rette non possono passare per il medesimo punto.
Riporto queste figure:
Se indichiamo con $r(n)$ il numero delle regioni che cerchiamo, basta un'occhiata alle
precedenti figure per poter affermare che $r(1) = 2, r(2) = 4, r(3) = 7$.
Ovviamente $r(0) = 1$: se non ho alcuna retta il piano viene "suddiviso" in un'unica
regione: il piano stesso.
Un ragionamento di tipo induttivo ci permetterà di ottenere facilmente una relazione tra
$r(n+1)$ ed $r(n)$: se inseriamo, ad esempio nella Fig. 3, una nuova retta che rispetta le
ipotesi dette, questa intersecherà ciascuna delle tre rette preesistenti in un punto restando
così suddivisa in 4 parti (due segmenti e due semirette, che in Fig. 4 sono state disegnate
"distaccate" per meglio metterle in evidenza); ciascuna di questi segmenti o semirette
divide a sua volta in due parti ciascuna delle 4 regioni che attraversa. Otterremo così in
tutto $7 + 4 = 11$ regioni.
Più in generale una nuova retta intersecherà le $n$ rette preesistenti in altrettanti punti
restando così suddivisa in $n+1$ parti ($n -1$ segmenti e due semirette), ciascuna delle quali
divide in due ogni regione che attraversa.
Avremo così: $r(n+1) = r(n) + n + 1$
Se applico questa formula al caso in cui inseriamo una n-esima retta dopo $n-1$ rette preesistenti
avremo: $r(n) = r(n-1) + n$
Tale formula, essendo ricorsiva, cioè esprimendo $r(n)$ in funzione di $r(n-1)$, nel caso volessimo calcolare ad
esempio r(10), ci costringe a calcolare anche r(9), r(8) e così via fino ad r(0), che come
è noto, vale 1.
Con un facile ragionamento possiamo però trasformare la seconda formula in una equivalente
"forma chiusa" cioè in una formula che ci permette di esprimere direttamente $r(n)$ in
funzione di $n$.
Applichiamo ripetutamente la formula e sommando membro a membro le $n$ volte, semplificando, si ottiene:
$r(n) = 1 + [1 + 2 + . . . . + (n-1) + n] = 1 + (n(n + 1))/2$
In cui si utilizza la formula di Gauss per la somma dei primi $n$ numeri naturali positivi.
rette parallele e tre o più rette non possono passare per il medesimo punto.
Riporto queste figure:
Se indichiamo con $r(n)$ il numero delle regioni che cerchiamo, basta un'occhiata alle
precedenti figure per poter affermare che $r(1) = 2, r(2) = 4, r(3) = 7$.
Ovviamente $r(0) = 1$: se non ho alcuna retta il piano viene "suddiviso" in un'unica
regione: il piano stesso.
Un ragionamento di tipo induttivo ci permetterà di ottenere facilmente una relazione tra
$r(n+1)$ ed $r(n)$: se inseriamo, ad esempio nella Fig. 3, una nuova retta che rispetta le
ipotesi dette, questa intersecherà ciascuna delle tre rette preesistenti in un punto restando
così suddivisa in 4 parti (due segmenti e due semirette, che in Fig. 4 sono state disegnate
"distaccate" per meglio metterle in evidenza); ciascuna di questi segmenti o semirette
divide a sua volta in due parti ciascuna delle 4 regioni che attraversa. Otterremo così in
tutto $7 + 4 = 11$ regioni.
Più in generale una nuova retta intersecherà le $n$ rette preesistenti in altrettanti punti
restando così suddivisa in $n+1$ parti ($n -1$ segmenti e due semirette), ciascuna delle quali
divide in due ogni regione che attraversa.
Avremo così: $r(n+1) = r(n) + n + 1$
Se applico questa formula al caso in cui inseriamo una n-esima retta dopo $n-1$ rette preesistenti
avremo: $r(n) = r(n-1) + n$
Tale formula, essendo ricorsiva, cioè esprimendo $r(n)$ in funzione di $r(n-1)$, nel caso volessimo calcolare ad
esempio r(10), ci costringe a calcolare anche r(9), r(8) e così via fino ad r(0), che come
è noto, vale 1.
Con un facile ragionamento possiamo però trasformare la seconda formula in una equivalente
"forma chiusa" cioè in una formula che ci permette di esprimere direttamente $r(n)$ in
funzione di $n$.
Applichiamo ripetutamente la formula e sommando membro a membro le $n$ volte, semplificando, si ottiene:
$r(n) = 1 + [1 + 2 + . . . . + (n-1) + n] = 1 + (n(n + 1))/2$
In cui si utilizza la formula di Gauss per la somma dei primi $n$ numeri naturali positivi.
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