Divisione tra polinomi
Credo possa star bene anche qui...
Siano \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) ed \(\displaystyle n,m \in \mathbb{N} \) con \(\displaystyle n \ge m \). Calcolare il resto della divisione del polinomio \(\displaystyle p(x)=(x+a)^{n} \) per il polinomio \(\displaystyle q(x)=(x+b)^{m} \). Precisamente, calcolare i polinomi \(\displaystyle s(x) \) (il quoziente della divisione) ed \(\displaystyle r(x) \) (il resto della divisione) tali che \(\displaystyle p(x)=s(x)\cdot q(x)+r(x) \), dove il grado di \(\displaystyle r \) è al più \(\displaystyle m-1 \).
Risposte
Hint:
Scusa, milizia96, ho scritto male il testo del problema (mannaggia a me!). E' \(\displaystyle n \ge m \) e non \(\displaystyle n \le m \).
Ho comunque corretto.
Ho comunque corretto.
Pongo : x+b=y,a=b+u di modo che la divisione da fare diventa:
\((y+u)^n:y^m \)
Sviluppando il binomio la divisione diventa così :
\( \biggl( \left [\binom{n}{0}y^n+\binom{n}{1}y^{n-1}u+\binom{n}{2}y^{n-2}u^2+...+\binom{n}{n-m}y^mu^{n-m}) \right] + \) \( + \left [ \binom{n}{n-m+1}y^{m-1}u^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}y^{m-2}u^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}u^n \right] \biggl) :y^m \)
Ora il polinomio racchiuso tra la terza e la quarta parentesi quadra contiene la y con esponenti tutti minori di m e dunque rappresenta il resto della divisione.Di conseguenza l'altro polinomio ,racchiuso tra la prima e la seconda parentesi quadra, rappresenta -diviso per \(y^m\)-il quoziente.Sostituendo y con x+b ed u con a-b si ha :
\( Q(x) =\displaystyle \binom{n}{0}(x+b)^{n-m}+\binom{n}{1}(x+b)^{n-m-1}(a-b)+\binom{n}{2}(x+b)^{n-m-2}(a-b)^2+...+\binom{n}{n-m}(a-b)^{n-m} \)
\(R(x)= \displaystyle \binom{n}{n-m+1}(x+b)^{m-1}(a-b)^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}(x+b)^{m-2}(a-b)^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}(a-b)^n \)
che sono rispettivamente quoziente e resto della divisione richiesta.
P.S. Speriamo che sia giusto e soprattutto ...che qualcuno legga la soluzione. C'ho messo una vita a scriverla !!
\((y+u)^n:y^m \)
Sviluppando il binomio la divisione diventa così :
\( \biggl( \left [\binom{n}{0}y^n+\binom{n}{1}y^{n-1}u+\binom{n}{2}y^{n-2}u^2+...+\binom{n}{n-m}y^mu^{n-m}) \right] + \) \( + \left [ \binom{n}{n-m+1}y^{m-1}u^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}y^{m-2}u^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}u^n \right] \biggl) :y^m \)
Ora il polinomio racchiuso tra la terza e la quarta parentesi quadra contiene la y con esponenti tutti minori di m e dunque rappresenta il resto della divisione.Di conseguenza l'altro polinomio ,racchiuso tra la prima e la seconda parentesi quadra, rappresenta -diviso per \(y^m\)-il quoziente.Sostituendo y con x+b ed u con a-b si ha :
\( Q(x) =\displaystyle \binom{n}{0}(x+b)^{n-m}+\binom{n}{1}(x+b)^{n-m-1}(a-b)+\binom{n}{2}(x+b)^{n-m-2}(a-b)^2+...+\binom{n}{n-m}(a-b)^{n-m} \)
\(R(x)= \displaystyle \binom{n}{n-m+1}(x+b)^{m-1}(a-b)^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}(x+b)^{m-2}(a-b)^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}(a-b)^n \)
che sono rispettivamente quoziente e resto della divisione richiesta.
P.S. Speriamo che sia giusto e soprattutto ...che qualcuno legga la soluzione. C'ho messo una vita a scriverla !!
Non so se è un problema del mio browser o del mio pc, ma il tuo post, vittorino70, presenta pezzi di formule che coprono la prima riga di testo...
Ho messo un po' più di spazio tra testo e formule.Spero che adesso si veda.Se il difetto permane potresti tentare di usare
temporaneamente una risoluzione diversa o più semplicemente caratteri di dimensione più piccola. Comunque sul mio Pc si vede bene .
temporaneamente una risoluzione diversa o più semplicemente caratteri di dimensione più piccola. Comunque sul mio Pc si vede bene .
Ho visto che scrivi "\( \displaystyle ... "; forse è questo che crea problemi al rendering su alcuni browser.
Prova a usare direttamente "\[ ... \]".
Prova a usare direttamente "\[ ... \]".
Ho tolto \displaystyle come dice Rigel.Comunque è MathJax che lo aggiunge automaticamente...
Ok, a me sembra giusto. Bravo!
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