Divisibilita' di polinomi
A) Dimostrare che se m ,n e p sono interi positivi qualsiasi,allora
il polinomio $x^(3m)+x^(3n+1)+x^(3p+2)$ e' divisibile per $x^2+x+1$
B) Per quali valori di m,n,p il polinomio $x^(3m)-x^(3n+1)+x^(3p+2)$ e' divisibile per $x^2-x+1$ ?
karl
il polinomio $x^(3m)+x^(3n+1)+x^(3p+2)$ e' divisibile per $x^2+x+1$
B) Per quali valori di m,n,p il polinomio $x^(3m)-x^(3n+1)+x^(3p+2)$ e' divisibile per $x^2-x+1$ ?
karl
Risposte
Uhm... Il polinomio $x^7+x^5+x^3$ non è divisibile per $x^2+x+1$...
Ciao, Fields!
Spero di non aver preso un abbaglio, ma secondo me
il tuo caso conferma il problema di Karl: il quoziente
dovrebbe essere $x^5-x^4+x^3$ (scrivo con i vostri
simboli anche se non li leggo).
Ora mi tocca proprio volar via...
Spero di non aver preso un abbaglio, ma secondo me
il tuo caso conferma il problema di Karl: il quoziente
dovrebbe essere $x^5-x^4+x^3$ (scrivo con i vostri
simboli anche se non li leggo).
Ora mi tocca proprio volar via...
A me il polinomio $x^7+x^5+x^3$ non sembra essere del tipo $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ com m,n,p interi positivi...
"fields":
Uhm... Il polinomio $x^7+x^5+x^3$ non è divisibile per $x^2+x+1$...
Che scemo!
Sorry! Il polinomio è del tipo giusto, ma ho sbagliato a fare la divisione fra polinomi!
Hai ragione... Anche io ho preso una svista...
"Bruno":
Ciao, Fields!
Spero di non aver preso un abbaglio, ma secondo me
il tuo caso conferma il problema di Karl: il quoziente
dovrebbe essere $x^5-x^4+x^3$ (scrivo con i vostri
simboli anche se non li leggo).
Ora mi tocca proprio volar via...
Se non vedi i "nostri simboli" ti consiglio di leggere questo topic!
Ciao!
"Celine":
A me il polinomio $x^7+x^5+x^3$ non sembra essere del tipo $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ com m,n,p interi positivi...
A me nemmeno... per favore potete mostrarmi perchè lo è?
$m,p=1,n=2$
m=1,n=2,p=1
karl
karl
Questione di nanosecondi...
karl
karl
Già, cmq di solito non mi intrometto in questi topic, quindi lascio subito la scena a persone più competenti! 
Lemma. Se $m>n>0$ e $m-n=3k$ esiste un polinomio $d(x)$ tale che $(x^2+x+1)d(x)=x^m-x^n$.
Prova. Se $m-n=3$, poniamo $d(x)=x^{n+1}-x^{n}$. Infatti
$(x^2+x+1)d(x)=x^{n+3}+x^{n+2}+x^{n+1}-x^{n+2}-x^{n+1}-x^n=x^m-x^n$.
Se $m-n=3k$, con $k>1$, consideriamo la serie telescopica
$x^m-x^n=x^m-x^{m-3}+x^{m-3}-x^{m-6}+....x^{n+3}-x^n=(x^2+x+1)d_1(x)+...+(x^2+x+1)d_k(x)=(x^2+x+1)(d_1(x)+...+d_K(x))$.
A questo punto prendiamo tre naturali $a>b>c>=3$ che siano diversi fra loro modulo 3 (come richiede il testo).
Caso 1). $a-c-=1 (mod 3)$ e dunque $a-b=2 (mod 3)$ e $b-c=2 (mod 3)$.
Osserviamo che allora
$x^a+x^b+x^c=x^a-x^{b-1} +x^{b-1} +x^{b} +x^{b+1}-x^{b+1} +x^{c} =(x^2+x+1)d_1(x)+(x^2+x+1)x^{b-1}+(x^2+x+1)[-d_2(x)]$
applicando il lemma precedente alle coppie $x^a-x^{b-1}$ e $-x^{b+1} +x^{c}$ (i cui esponenti differiscono di un multiplo di 3) e invertendo il segno alla seconda coppia.
Caso 2) $a-c-=2 (mod 3)$ e dunque $a-b=1 (mod 3)$ e $b-c=1 (mod 3)$.
Osserviamo che allora
$x^a+x^b+x^c=x^a-x^{b+1} +x^{b+1} +x^{b} +x^{b-1}-x^{b-1} +x^{c} =(x^2+x+1)d_1(x)+(x^2+x+1)x^{b-1}+(x^2+x+1)[-d_2(x)]$
applicando il lemma precedente alle coppie $x^a-x^{b+1}$ e $-x^{b-1} +x^{c}$ (i cui esponenti differiscono di un multiplo di 3) e invertendo il segno alla seconda coppia.
Prova. Se $m-n=3$, poniamo $d(x)=x^{n+1}-x^{n}$. Infatti
$(x^2+x+1)d(x)=x^{n+3}+x^{n+2}+x^{n+1}-x^{n+2}-x^{n+1}-x^n=x^m-x^n$.
Se $m-n=3k$, con $k>1$, consideriamo la serie telescopica
$x^m-x^n=x^m-x^{m-3}+x^{m-3}-x^{m-6}+....x^{n+3}-x^n=(x^2+x+1)d_1(x)+...+(x^2+x+1)d_k(x)=(x^2+x+1)(d_1(x)+...+d_K(x))$.
A questo punto prendiamo tre naturali $a>b>c>=3$ che siano diversi fra loro modulo 3 (come richiede il testo).
Caso 1). $a-c-=1 (mod 3)$ e dunque $a-b=2 (mod 3)$ e $b-c=2 (mod 3)$.
Osserviamo che allora
$x^a+x^b+x^c=x^a-x^{b-1} +x^{b-1} +x^{b} +x^{b+1}-x^{b+1} +x^{c} =(x^2+x+1)d_1(x)+(x^2+x+1)x^{b-1}+(x^2+x+1)[-d_2(x)]$
applicando il lemma precedente alle coppie $x^a-x^{b-1}$ e $-x^{b+1} +x^{c}$ (i cui esponenti differiscono di un multiplo di 3) e invertendo il segno alla seconda coppia.
Caso 2) $a-c-=2 (mod 3)$ e dunque $a-b=1 (mod 3)$ e $b-c=1 (mod 3)$.
Osserviamo che allora
$x^a+x^b+x^c=x^a-x^{b+1} +x^{b+1} +x^{b} +x^{b-1}-x^{b-1} +x^{c} =(x^2+x+1)d_1(x)+(x^2+x+1)x^{b-1}+(x^2+x+1)[-d_2(x)]$
applicando il lemma precedente alle coppie $x^a-x^{b+1}$ e $-x^{b-1} +x^{c}$ (i cui esponenti differiscono di un multiplo di 3) e invertendo il segno alla seconda coppia.
si risolve anche coi complessi, volendo evitare di pensare 
...
...
Sì, dice bene Thomas.L'uso dei complessi semplifica di
parecchio la questione.
karl
parecchio la questione.
karl
Sinceramente ho verificato che $e^(2/3pi)$ e $e^(4/3pi)$ (le radici complesse del polinomio $x^2+x+1$) sono entrambi zeri di qualunque polinomio del tipo proposto (per la presenza di quel $3$ a ogni esponente e ricordando che $e^(j2pi)=1$... tuttavia mi sorge un dubbio: è lecito estendere il teorema di Ruffini a radici complesse? nel senso, se ho un polinomio $P(z)$ a coefficienti reali e un numero complesso $z_0$ tale che $P(z_0)=0$, allora posso concludere che nel campo complesso $P(z)$ è divisibile per $z-z_0$? In caso affermativo tale risultato va sempre sotto il nome di "teorema di Ruffini" o è diversamente conosciuto?
Per quanto riguarda il quesito 2 credo che la risposta sia: $m,n,p$ devono avere lo stesso resto modulo $2$ (o tutti contemporaneamente pari o tutti contemporaneamente dispari)
Per quanto riguarda il quesito 2 credo che la risposta sia: $m,n,p$ devono avere lo stesso resto modulo $2$ (o tutti contemporaneamente pari o tutti contemporaneamente dispari)
Sulla estensione del teorema di Ruffini, e per quello che ne so io,credo
che la risposta sia affermativa.Dal punto di vista formale il concetto di
radice di un polinomio non cambia da $RR$ a $CC$ .
Sulla seconda parte del quesito la risposta e' quella.
Una sia pur breve dimostrazione?
karl
che la risposta sia affermativa.Dal punto di vista formale il concetto di
radice di un polinomio non cambia da $RR$ a $CC$ .
Sulla seconda parte del quesito la risposta e' quella.
Una sia pur breve dimostrazione?
karl
"leonardo":
Se non vedi i "nostri simboli" ti consiglio di leggere questo topic!
Ci siamo già scritti in MP: grazie ancora, Leonardo!
Purtroppo, al momento non posso risolvere questo
problema.
"karl":
Una sia pur breve dimostrazione?
...per ora non ho idee, almeno non di tipo... speedy!
Ci ho ragionato un pochino sopra, ma adesso passo
volentieri la palla
Buona giornata a tutti!
Certo karl, hai ragione, non ho postato una dimostrazione data la tarda ora... rimedio subito.
Gli zeri del polinomio $z^2-z+1$ sono $z_1=e^(jpi/3)$ e $z_2=e^(-jpi/3)$.
Posto $P(z)=z^(3m)-z^(3n+1)+z^(3p+2)$, risulta (ricordando che il coseno è funzione pari e il seno dispari):
$P(z_1)=e^(jpim)-e^(jpin)e^(jpi/3)+e^(jpip)e^(j2/3pi)=(-1)^m-(-1)^n(1/2+jsqrt(3)/2)+(-1)^p(-1/2+jsqrt(3)/2)$
$P(z_2)=e^(-jpim)-e^(-jpin)e^(-jpi/3)+e^(-jpip)e^(-j2/3pi)=(-1)^m-(-1)^n(1/2-jsqrt(3)/2)+(-1)^p(-1/2-jsqrt(3)/2)$
Affinché $P(z)$ sia divisibile per $z^2-z+1$ occorre che $z_1$ e $z_2$ siano zeri di $P(z)$. Imponendo tale condizione si
ottiene il risultato.
Gli zeri del polinomio $z^2-z+1$ sono $z_1=e^(jpi/3)$ e $z_2=e^(-jpi/3)$.
Posto $P(z)=z^(3m)-z^(3n+1)+z^(3p+2)$, risulta (ricordando che il coseno è funzione pari e il seno dispari):
$P(z_1)=e^(jpim)-e^(jpin)e^(jpi/3)+e^(jpip)e^(j2/3pi)=(-1)^m-(-1)^n(1/2+jsqrt(3)/2)+(-1)^p(-1/2+jsqrt(3)/2)$
$P(z_2)=e^(-jpim)-e^(-jpin)e^(-jpi/3)+e^(-jpip)e^(-j2/3pi)=(-1)^m-(-1)^n(1/2-jsqrt(3)/2)+(-1)^p(-1/2-jsqrt(3)/2)$
Affinché $P(z)$ sia divisibile per $z^2-z+1$ occorre che $z_1$ e $z_2$ siano zeri di $P(z)$. Imponendo tale condizione si
ottiene il risultato.
Perfetto!
karl
karl
Non stavo proprio pensando a questo...
Istruttivo
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