Dividere i numeri da 1 a 16 in due gruppi.

[ghira1]

È possibile dividere i numeri da 1 a 16 in due gruppi tali che:

I gruppi contengono la stessa quantità di numeri. (Le somme delle zeroesime potenze sono uguali)
Le somme dei numeri nei due gruppi son uguali. (Le somme delle prime potenze sono uguali)
Le somme dei quadrati sono uguali.
Le somme dei cubi sono uguali.

Come?

Forse più sorprendentemente... funziona per valori più generali di "16"!

Puoi dividere i numeri da $1$ a $2^n$ in due gruppi tali che le somme delle $i$-esime potenze sono uguali per $i=0$, $1$, $\ldots$, $n-1$.

[axpgn]

$A={1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16}$

$B={2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15}$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Penso che sia uno schema del genere ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@ghira
Nessun commento?

[ghira1]

"axpgn":@ghira
Nessun commento?

Hai palesemente ragione. Che ti devo dire?

Questo per la domanda di base. Per la versione estesa, non so esattamente come funziona ma sì sembra che sia possibile estendere la soluzione per $2^n$ in una per $2^{n+1}$. Possiamo partire da $1,2$ ovviamente. 2 gruppi da 1.

[axpgn]

Chiaramente mi riferivo all'estensione ...

Lo schema che ho postato funziona così:

Ogni coppia di numeri successivi la suddivido tra i due gruppi, in due modi: diretto ($1$ e $2$) o inverso ($4$ e $3$)
Ogni volta che "raddoppio", scrivo i numeri aggiuntivi secondo uno schema invertito rispetto a quanto già scritto.

Ovvero inizio con $1-2$ e poi $4-3$.
Poi proseguo "al contrario" cioè $6-5$ e $7-8$.
E così via ...

Pensavo avessi una dimostrazione analitica di questo processo

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":

Pensavo avessi una dimostrazione analitica di questo processo

Cordialmente, Alex

Controllo. Ho visto un discorso sul primo problema e sucessivamente un altro sull'estensione. Mi ricorda https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Thue-Morse - vedo se trovo qualcosa dal secondo discorso.

[axpgn]

Interessante quel link.
Mi pare che il problema che hai postato sia quello che lì viene chiamato "il problema di Prouhet–Tarry–Escott".

[ghira1]

"axpgn":Interessante quel link.
Mi pare che il problema che hai postato sia quello che lì viene chiamato "il problema di Prouhet–Tarry–Escott".

Ah! Sta proprio sulla pagina Wikipedia! La successione di Thue-Morse è spuntata in vari contesti per me negli ultimi anni.

[giammaria2]

Io l'avevo vista come segue.

Dovendo suddividere i primi $2^n$ numeri, per $n=2$ i due gruppi sono formati da (1,4) e (2,3). Per le $n$ successive, con $2^(n+1)$ numeri:
- la prima metà di un gruppo è uguale ad un gruppo precedente;
- l'altra metà è uguale all'altro gruppo precedente, con i numeri aumentati di $2^n$

La dimostrazione che vedo è lunga da scrivere; probabilmente lo si può dimostrare in modo migliore.