Disuguaglianza
Si consideri la disuguaglianza
$(x_(1)+...+x_(n))^2>=4(x_(1)x_(2)+x_(2)x_(3)+...+x_(n)x_(1))$
(a) Determinare per quali $n>=3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali positivi $x_(1),...,x_(n)$.
(b) Determinare per quali $n>=3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali $x_(1),...,x_(n)$.
$(x_(1)+...+x_(n))^2>=4(x_(1)x_(2)+x_(2)x_(3)+...+x_(n)x_(1))$
(a) Determinare per quali $n>=3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali positivi $x_(1),...,x_(n)$.
(b) Determinare per quali $n>=3$ è vera per ogni possibile scelta di numeri reali $x_(1),...,x_(n)$.
Risposte
a) $n>=4$... credo.... 
per es per n=6 pari $[(x_1-x_2)+(x_3-x_4)+(x_5-x_6)]^2>=0$ è più forte di quella data ed ovvia...
così si fà per n pari... per n dispari c'è da lavorare un pò di più ma si arriva a fondo con polinomi dello stesso tipo;
b) direi solo $n=4$ (verifica diretta).
Basta fare i modo che la prima somma sia 0 e quella a destra positiva... questo si può ottenere settando $x_1=-a$, $x_2=-b$, $x_(n-1)=+b$, $x_n=+a$ e tutti gli altro 0 (a e b positivi).
per es per n=6 pari $[(x_1-x_2)+(x_3-x_4)+(x_5-x_6)]^2>=0$ è più forte di quella data ed ovvia...
così si fà per n pari... per n dispari c'è da lavorare un pò di più ma si arriva a fondo con polinomi dello stesso tipo;
b) direi solo $n=4$ (verifica diretta).
Basta fare i modo che la prima somma sia 0 e quella a destra positiva... questo si può ottenere settando $x_1=-a$, $x_2=-b$, $x_(n-1)=+b$, $x_n=+a$ e tutti gli altro 0 (a e b positivi).
"Thomas":
per es per n=6 pari $[(x_1-x_2)+(x_3-x_4)+(x_5-x_6)]^2>=0$ è più forte di quella data ed ovvia...
perchè dovrebbe essere più forte?
Se sviluppi la dis da dimostrare portando tutto a primo membro avrai:
- la somma dei quadrati e dei doppi prodotti, alcuni con segno positivo, altri con segno negativo (ma il coefficiente in modulo sempre 2);
Se sviluppi la dis che ho scritto avrai:
- la somma dei quadrati e dei doppi prodotti: quelli che prima avevano segno negativo ce l'hanno anche ora (il polinomio è scritto apposta), gli altri non ci interessano perchè se hanno segno positivo ci danno esattamente la dis voluta, se invece hanno segno negativo, essendo i numeri considerati positivi, rendono solo più forte la disuguaglianza;
ti pare funzi?
ps: nella seconda parte ci sono delle condizioni su a e b... mi sono dimenticato... ma cmq il contro-esempio rimane quello;
- la somma dei quadrati e dei doppi prodotti, alcuni con segno positivo, altri con segno negativo (ma il coefficiente in modulo sempre 2);
Se sviluppi la dis che ho scritto avrai:
- la somma dei quadrati e dei doppi prodotti: quelli che prima avevano segno negativo ce l'hanno anche ora (il polinomio è scritto apposta), gli altri non ci interessano perchè se hanno segno positivo ci danno esattamente la dis voluta, se invece hanno segno negativo, essendo i numeri considerati positivi, rendono solo più forte la disuguaglianza;
ti pare funzi?
ps: nella seconda parte ci sono delle condizioni su a e b... mi sono dimenticato... ma cmq il contro-esempio rimane quello;
mi sa che funzi proprio
aspetta consideriamo $x_2=x_3=0$
$(x_1+x_4+x_5)^2-4x_4x_5-4x_5x_1=sum_{i}x_i^2+2x_1x_4-2x_1x_5-2x_4x_5>=(x_1-x_4+x_5)^2=sum_{i}x_i^2-2x_1x_4+2x_1x_5-2x_4x_5
$<=>2x_1x_4-2x_1x_5>=-2x_1x_4+2x_1x_5<=>x_1(x_4-x_5)>=0<=>x_4>=x_5$ uhmmm, nn so potrei aver anche scritto cavolate dal momento che nn ho ricontrollato niente, che ne dite?
$(x_1+x_4+x_5)^2-4x_4x_5-4x_5x_1=sum_{i}x_i^2+2x_1x_4-2x_1x_5-2x_4x_5>=(x_1-x_4+x_5)^2=sum_{i}x_i^2-2x_1x_4+2x_1x_5-2x_4x_5
$<=>2x_1x_4-2x_1x_5>=-2x_1x_4+2x_1x_5<=>x_1(x_4-x_5)>=0<=>x_4>=x_5$ uhmmm, nn so potrei aver anche scritto cavolate dal momento che nn ho ricontrollato niente, che ne dite?
Allora...
Ovviamente $n!=3$ e ciò lo si vede per verifica diretta ponendo ad esempio $x_(1)=x_(2)=x_(3)=1$.
Per $n=4$ la disuguaglianza è vera per ogni numero reale e lo si vede svolgendo il quadrato e portando tutti i termini al primo membro. (Viene fuori un quadrato di quadrinomio...che nome brutto!).
Poi basta, mi sono fermato qui..
Si dovrebbe dimostrare per induzione che per $n>=4$ la disuguaglianza è vera per ogni valore reale dei parametri $x_(1), x_(2)...$ ma non ci sono riuscito.
E' un esercizio che ci hanno dato quest'anno a Cesenatico alle olimpiadi ma non ricordo le soluzioni perchè le ho perse. Sul sito ancora non le hanno pubblicate.
Ovviamente $n!=3$ e ciò lo si vede per verifica diretta ponendo ad esempio $x_(1)=x_(2)=x_(3)=1$.
Per $n=4$ la disuguaglianza è vera per ogni numero reale e lo si vede svolgendo il quadrato e portando tutti i termini al primo membro. (Viene fuori un quadrato di quadrinomio...che nome brutto!).
Poi basta, mi sono fermato qui..
Si dovrebbe dimostrare per induzione che per $n>=4$ la disuguaglianza è vera per ogni valore reale dei parametri $x_(1), x_(2)...$ ma non ci sono riuscito.
E' un esercizio che ci hanno dato quest'anno a Cesenatico alle olimpiadi ma non ricordo le soluzioni perchè le ho perse. Sul sito ancora non le hanno pubblicate.
Così ad occhio mi pare che tu stia provando ad applicare il metodo che ho descritto ad n dispari ed hai concluso che la dis è più forte solo in certe condizioni... in quel caso bisogna considerare due polinomi simili, uno che vada bene in un caso ed uno nell'altro (per questo dicevo che il caso dispari richiede qualche controllo in più) ... non dovrebbe essere difficile trovarli... io ora non ho molto tempo... ma l'idea credo funzioni...
ps: invece per il caso pari non ci sono problemi ad usare esattamente il polinomio che ho descritto per n=6... da verificare ovviamente... e per lo stesso polinomio intendo $((x_1-x_2)+(x_3-x_4)+...+(x_(n-1)-x_n))^2$...
ps: invece per il caso pari non ci sono problemi ad usare esattamente il polinomio che ho descritto per n=6... da verificare ovviamente... e per lo stesso polinomio intendo $((x_1-x_2)+(x_3-x_4)+...+(x_(n-1)-x_n))^2$...
@Giuseppe87x:
certo ha senso una dimostrazione per induzione, visto che perlomeno ad occhio la dis dovrebbe diventare sempre più debole... ma ieri sera mi piaceva di più il metodo sopra...
certo ha senso una dimostrazione per induzione, visto che perlomeno ad occhio la dis dovrebbe diventare sempre più debole... ma ieri sera mi piaceva di più il metodo sopra...
aspe Giuseppe... dici che è vera per ogni reale... scusa ma se accetti anche valori negativi mi pare che il controesempio che ho dato sia accettabile (mettendo a posto a e b)... o no??
Scusa se non controllo io ma sono un pò stanco...
Scusa se non controllo io ma sono un pò stanco...
nn direi, se setti a e b in quel modo il ramo di destra è $-4a^2$, anche secondo me si può risolvere per induzione, se poi ne ho voglia mi ci metto
faccio un esempio come posso settare bene le variabili... per esempio n=5... poi ne riparliamo domani...
$x_1=10$
$x_2=1$
$x_3=0$
$x_4=-10$
$x_5=-1$
RM: $(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)^2=0$
LM: $4(10+0+0+10-10)=40$
e $0>=40$ non è vera...
per n=4 il controesempio non si trova perchè 1) è vera anche per i reale qualsiasi; 2) si danno fastidio i termini centrali;
$x_1=10$
$x_2=1$
$x_3=0$
$x_4=-10$
$x_5=-1$
RM: $(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)^2=0$
LM: $4(10+0+0+10-10)=40$
e $0>=40$ non è vera...
per n=4 il controesempio non si trova perchè 1) è vera anche per i reale qualsiasi; 2) si danno fastidio i termini centrali;
bè si, in effetti penso proprio che questo risolve appieno il caso b)
bhè stamattina ci ho provato e ho risolto abbastanza agevolmente per induzione (detto fra noi una vera cavolata) se volete posto la soluzione che nn è neanche tanto lunga: 3 righe appena 
Mica ci devi chiedere l'autorizzazione
nn ho molto tempo, nè ho voglia di perderlo su questo problema, prima avevo commesso un errore perchè credevo fosse risolto in tre righe ma nn era così, come dice giuseppe87x per n=4 si ottiene il quadrato di un quadrinomio quindi dimostriamo aggiungendo un $x_5$ e poi da ciò sarà chiaro che la disuguaglianza è vera anche se aggiungiamo un numero infinito di termini (cosa che però adesso nn scrivo per mancanza di tempo, magari completatelo voi)
quindi :$(a_4+x_5)^2>=4(b_4-x_4x_1+x_4x_5+x_5x_1)$ adesso sviluppiando il quadrato di sinistra e riportando $4b_4$ all'altro membro riotteniamo il quadrato del quadrinomio+$x_5^2$+i doppi prodotti che mancano nel caso n=4 che sono $2x_5sum_{i}x_i$ e semplificando tutto si traduce in $(x_1-x_4)^2+x_5^2-2x_5(x_4+x_1)+4x_4x_1>=0$ che è vera per valori di x positivi e lo si può capire per esempio completando il quadrato $(x_5-(x_4+x_1))^2$ e facendo altri (pochi) conti, di qui poi dedurre che è così anche per tutti i dispari, magari facendo uso della combinatoria nn dovrebbe essere difficile
quindi :$(a_4+x_5)^2>=4(b_4-x_4x_1+x_4x_5+x_5x_1)$ adesso sviluppiando il quadrato di sinistra e riportando $4b_4$ all'altro membro riotteniamo il quadrato del quadrinomio+$x_5^2$+i doppi prodotti che mancano nel caso n=4 che sono $2x_5sum_{i}x_i$ e semplificando tutto si traduce in $(x_1-x_4)^2+x_5^2-2x_5(x_4+x_1)+4x_4x_1>=0$ che è vera per valori di x positivi e lo si può capire per esempio completando il quadrato $(x_5-(x_4+x_1))^2$ e facendo altri (pochi) conti, di qui poi dedurre che è così anche per tutti i dispari, magari facendo uso della combinatoria nn dovrebbe essere difficile
forse c'è ancora qualche errore di calcolo, ma cmq grossomodo il procedimento dovrebbe essere più o meno così
A quest'ora sono talmente stanco che non mi accorgerei neanche degli errori più grossolani!
Domani do un'occhiata anche se la tua induzione, così a prima vista, mi sembra un pò...fuori dall'ordinario! 
Domani do un'occhiata anche se la tua induzione, così a prima vista, mi sembra un pò...fuori dall'ordinario!
nel senso che ci saranno sicuramente metodi di dimostrazione ad hoc per qst disuguaglianze, bè senz'altro avrai ragione, però secondo me si può fare anche per induzione
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