Disquaglianza

[FreddyKruger]

Dimostrare che $a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1$ , con $a,b,c$ reali positivi minori di 1.

[Kashaman]

Ci provo.

$a^2+b^2+c^2<= a^2b+b^2c+c^2a+1=> a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)<=1 (1)$
Con l'ipotesi che $a,b,c <1$ si distinguono due casi.
1) $0<=a,b,c<1$
2) $a,b,c<0$
Consideriamo la 2). (In generale non e' vera. posto ad esempio $a=b=c=-1 => 6<=1$ assurdo.)
Vale però se almeno due fattori tra $a,b.c$ sono nulli e il restante e' $-1$ . In tal caso si avrebbe $1=1$.
considerando la 1)
Un'altra soluzione si ha prendendo $a=b=c =0 =>0<1$
Infine consideriamo $a,b,c in ]0,1[$.
Si ha allora che $a^2,b^2,c^2<=1 $ e anche $(1-a),(1-b),(1-c)<=1$ da cui, la (1) risulta essere provata.
Conclusione :
se $a,b,c in RR$ $a^2+b^2+c^2<= a^2b+b^2c+c^2a+1 <=> 1) a=b=c=0 , 2) a=b=0 , c=-1 3) 0

[FreddyKruger]

I numeri $a,b,c$ sono tutti e tre positivi, e per quanto riguarda il punto 2,se non ho capito male stai affermando che la somma di tre quantità minori di 1 è sempre minore di 1:questo non è vero, oppure ho capito male il testo?

[totissimus]

Supponiamo \(a \leq b \leq c \) e consideriamo la funzione
\(f(x)=ax^2+x^2c+c^2a+1-a^2-x^2-c^2=(c-1)x^2+a^2x+c^2a+1-a^2-c^2 \) con \(x \in [a,c]\)

\( f(a)=(c-1)a^2+a^3+c^2a+a^2-c^2+1=ca^2+a^3+c^2a+1-2a^2-c^2\)
\(=(a-1)c^2+a^2c+a^3-2a^2+1=(a-1)c^2+a^2c+(a-1)(a^2-a-1)\)
\(\geq a-1+a^2c+(a-1)(a^2-a-1)=a(1-a)^2+a^2c \geq 0\)
Analogamente si prova che \(f(b)\geq 0\). Il discriminante di \(f(x) \) non può essere negativo, altrimenti \(f(x) \) sarebbe sempre negativa, quindi ci sono due radici una almeno positiva \(x_1\) (c'è una variazione di segno).
I punti \(a,c\) sono interni all'intervallo delle radici quindi per \( x \in[a,c]\) è \(f(x) \geq 0\), quindi \(f(b) \geq 0 \) da cui a disuguaglianza. Gli altri casi si ottengono in modo analogo.

[Gaussman]

si scrive disuguaglianza
Comunque propongo una soluzione alternativa:
senza perdita di generalità essendo la disuguaglianza ciclica posso supporre $a=max(a,b,c)$
Riscrivo la disuguaglianza come:
$(1-a)(1-ab)+(1-a)(a-c^2)+b^2c+b(a-b)\ge 0$ che è vera perchè ciascuno dei termini è $\ge 0$

[FreddyKruger]

Carina come soluzione,ma ci sono milioni di scomposizioni , io sarei impazzito
Comunque disquaglianza suona molto meglio di disuguaglianza