Dimostrazioni proposte 2

[kobeilprofeta]

Ecco nuove dimostrazioni proposte da me e divise per difficoltà:
Nb: le categorie sono indicative ed arbitrarie quindi non vieto a nessuno di risolvere dimostrazioni di altre categorie... Ma ricordatevi sempre di spoilerizzare.


SCUOLE MEDIE
A1) dimostrare che la somma di due interi consecutivi non multipli di tre è divisibile per tre. Es: 7+8=15 che è multiplo di tre

A2) Partendo dalla formula che permette di sommare tutti i numeri da 1 a $n$, cioè $(n^2+n)/2$; trovare la formula per sommare i numeri da $a$ a $b$, ovviamente nel caso in cui $a!=1$ per distinguerla dalla precedente.

SCUOLE SUPERIORI
B1) dimostrare che la somma di due dispari consecutivi non multipli di tre è un multiplo di 12. Es: 11+13=24 che è multiplo di 12.

B2) trovare e dimoatrare quanto vale la differenza tra la somma dei numeri non multipli $n$ seguenti a $k*n$ e quella dei numeri antecedenti $k*n$.
Es: se $n=4$ e $k=3$ risulta $13+14+15$ e $11+10+9$.

PER POCHI
C1) Dimostrare che $n^2$ è uguale alla somma dei primi $n$ numeri dispari. (questo come avrete notato non l'ho pensato io ma è conosciuto).

D1) Qua chiedo un aiuto: è una mia congettura (sono impossibilitato a verificarla con un computer).

Sommo i non multipli di tre (tutti, non solo quelli consecutivi) e mi risultano multipli di tre che si alternano a primi o semiprimi (addirittura molti piu primi che semipremi). Ho provato solo su carta, magri mi smentite a computer o magari riuscite a dimostrare la congettura.

Riporto l'inizio della sequenza: 3-7-12-19-27-37-48-61...

[j18eos]

...ti propongo di ragionare con l'aritmetica modulare (sai di che scrivo?)

[kobeilprofeta]

Penso di sapere di che si tratta, ma non ho proprio idea di dove partire (se intendi l'aiuto che ho chiesto nella congettura).
In ogni caso dimostrate le altre cose che ho messo...(in quelle non chiedo aiuto, è solo un esercizio che propongo a voi fatto da me )

[marcosocio]

A1)

Due numeri consecutivi non multipli di 3 possono essere scritti come $n+1$ e $n+2$ dove $n$ è un multiplo di 3. La loro somma sarà quindi $n+1+n+2=2n+3$ che è multiplo di 3.

B1)

Due numeri dispari consecutivi non multipli di 3 devono essere nella forma $n+2$ e $n+2+2$ dove $n$ è un multiplo di 3 (se infatti il primo numero fosse $n+1$ quello dispari successivo sarebbe divisibile per 3). La loro somma è quindi $2n+6$ che è divisibile per 3 e per 4 perchè i multipli di 3 pari non sono divisibili per 4, ma lo diventano se si somma loro 6. Di conseguenza il numero è anche divisibile per 12.

A2)

Basta sottrarre la somma dei numeri da $1$ a $a-1$ a quella dei numeri da $1$ a $b$. Perciò $\frac{b(b+1)}{2}-\frac{(a-1)(a-1+1)}{2}=\frac{b^2-a^2+b+a}{2}$

B2)

Forse non ho capito bene il testo, ma la somma dei numeri non multipli di $n$ maggiori di $kn$ non vale $\infty$?

[marcosocio]

Per la congettura ho trovato la tua successione qua, prova a dare un'occhiata!

[Pianoth]

Non c'è bisogno di aritmetica modulare (anche se usandola la dimostrazione è molto più rapida), basta ragionare un po' (per D1):

I termini in posizione dispari sono divisibili per $3$, i termini in posizione pari danno resto $1$ quando vengono divisi per $3$ (quindi non hanno niente di particolare, non sono per forza primi o semiprimi).
Ecco una dimostrazione semplice semplice:
I termini in posizione dispari sono dati da somme di non-multipli di $3$ consecutivi. Per interderci, il quinto termine è dato da $(1+2)+(4+5)+(7+8)$. D'altra parte la somma di due non-multipli di $3$ consecutivi si può scrivere nel seguente modo (scrivendo i due numeri nella forma $3q + r$ dove $q$ è il quoziente quando viene diviso per $3$ e $r$ è il resto): $(3n + 1)+(3n + 2) = 6n + 3 = 3(2n+1)$. Questo implica che, essendo i termini in posizione dispari formati da somme di non-multipli di $3$ consecutivi, ovvero una somma di numeri divisibili per $3$, i termini dispari sono divisibili per $3$ (scusa la confusione, ma sto scrivendo velocemente ).
I termini pari si ottengono sommando ai termini dispari un numero che dà resto $1$ quando viene diviso per $3$. Dato che i termini dispari sono divisibili per $3$, i termini pari saranno proprio numeri che danno resto $1$ quando vengono divisi per $3$ (con l'aritmetica modulare sarebbe molto più facile spiegarlo, sia chiaro ). In altre parole, un termine pari della tua sequenza si può scrivere così ($3k$ è il termine dispari precedente al termine pari):
$3k + 3n + 1 = 3(k+n)+1$.
Come è facile notare, quest'ultimo è un numero nella forma $3q + r$ dove $r = 1$ e questo implica quello che ho detto all'inizio.

[kobeilprofeta]

@marcosocio
Per il B1 bastava dire che:

tutti i numeri dispari non multipli di 3 sono di forma 6k-1 o 6k+1... che avendo differenza 2 sono anche dispari consecutivi. Li sommo e viene 12k

...manca comunque i quadrati che sono somme dei nimeri dispari

[Pianoth]

Dato che tutti i numeri dispari si possono scrivere nella forma $2k+1$, la somma dei primi $n$ numeri dispari è uguale a:
$\sum_(k=0)^(n-1) (2k+1)=\sum_(k=0)^(n-1) 2k + \sum_(k=0)^(n-1) 1= 2(\sum_(k=0)^(n-1) k)+n=$
$=(n-1)n+n=n^2-n+n=n^2$.

[marco99991]

"marcosocio":
B2)

Forse non ho capito bene il testo, ma la somma dei numeri non multipli di $ n $ maggiori di $ kn $ non vale $ \infty $?

B2) La differenza va fatta tra $(kn+1)+...+(kn+n-1)$ e $(kn-n+1)+...+(kn-1)$, che dà come risultato
$n*(n-1)=n^2-n$. Il risultato è quindi indipendente dal valore di $k$