Dimostrazione di un'equazione

[UmbertoM1]

Sia data la seguente equazione, essendo $x,n,kinNN^+$
$3^k-1=x^n$
Si dimostri che per $n>1$ ed $n!=3$ essa non ha soluzioni
Ecco come l'ho dimostrato io:

Si pone $x^n=(3^(k/2)+1)(3^(k/2)-1)$ Da cui segue che $n=log_x(3^(k/2)+1)+log_x(3^(k/2)-1)$
Poiche supponiamo $n\inNN^+$, deve essere necessariamente vero che $(3^(k/2)+1)$ e $(3^(k/2)-1)$ sono potenze di $x$ (in caso contrario i due logaritmi non sarebbero numeri interi. In realtà la loro somma potrebbe essere intera, pur non essendolo loro stessi, ma in questo caso non sarebbe vero che $kinNN$). Inoltre $(3^(k/2)+1)>(3^(k/2)-1)$. Perciò vale il rapporto $x^a=(3^(k/2)+1)/(3^(k/2)-1)$. Si nota che per valori di $k$ molto alti tale rapporto tende ad uno. Ma noi supponiamo che questo rapporto sia intero. Ed è tale solo per $k=2$. In questa caso deve essere $x^a=x=2$ ed $n=3$, in tutti gli altri casi la terna di valori non è intera.

[Palliit]

Ciao. Mi sembra che se $k=0$ ed $x=0$ l'equazione sia vera per qualsiasi $n>0$.

[UmbertoM1]

Peccato che 0 non sia un numero naturale. In ogni caso cambio, specificando che intendo solo i positivi

[Palliit]

"UmbertoM":Peccato che 0 non sia un numero naturale.

La cosa è controversa, alcuni lo includono e altri no, ad esempio Peano la pensava diversamente.