Dimostrazione di quadrati e cubi

[SQUAK1]

Il problema richiede di dimostrare l'esistenza o meno di un numero naturale n diverso da 26 tale che n-1 sia un quadrato perfetto e n+1 sia un cubo perfetto.
Ho provato calcolare brutalmente fino al quadrato di 300, senza trovare numeri che corrispondessero, quindi sono convinto che non ce ne siano, ma non sono riuscito a dimostrarlo, sono solo arrivato a dimostrare che n deve essere pari e che n-1 e n+1 non possono contenere uno stesso fattore primo (cioè che devono essere primi tra loro).
Qualche idea?

[axpgn]

Qualche spunto ...

Posto $n-1=p^2$ e $n+1=q^3$ allora $p$ deve terminare con $5$ e $q$ deve terminare con $3$, inoltre la somma (ripetuta) delle cifre di $n$ deve essere $8$.
Poi ... dato che i quadrati di un numero che finisce col $5$ terminano tutti in $25$ allora $q$ deve terminare in $03$ ...
E poi ... ci penserò domani, forse ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Anche io credo che non ci siano altri valori ma non riesco a dimostrarlo.
Ho provato al computer, indicando con $a$ la base del cubo e cercando i valori di $a$ per cui $a^3-2$ è un quadrato. Non succede fino ad $a=150$, corrispondente a $n=3.374.999$; non ho proseguito.

[dan952]

Sia $p^2=n-1$ e $q^3=n+1$.
Mostriamo che $3 | q$, procediamo per esclusione

1) Supponiamo $3| n=p^2+1$ ma $p^2 -= 1 \mod 3$, dunque $3$ non può dividere $n$.

2) Supponiamo $3|n-1$ allora $9|n-1$ perché quadrato perfetto, ma allora $q^3 -= 2 \mod 9$ che non ha soluzione, quindi $3$ non divide $n-1$

Concludiamo che $3|n+1$ e dunque possiamo scrivere $q^3=27k^3$ per qualche naturale $k$.

Ora dimostriamo che $n$ è necessariamente pari, infatti se così non fosse si avrebbe che $4| 27k^3-2=p^2$, assurdo essendo anche $k^3$ pari e divisibile per 8.

Dunque esistono naturali $m,h$ tali che $q=2m+1$ e $p=2h+1$, sostituendo abbiamo

$27(2m+1)^3-2=(2h+1)^2$

Da cui

$54m(4m^2+6m+3)=4(h-2)(h+3)$

Da qui segue che $2|m$, ovvero $n+1=q^3-=1 \mod 4$ e quindi $4| n=p^2+1$ assurdo se supponiamo che $m>0$