Dimostrazione

[Aethelmyth]

Siano $1 Dimostrare che tra di essi ci sono almeno 3 primi consecutivi.

[fields1]

Che cosa intendi con l'espressione: "tra di essi ci sono almeno 3 primi consecutivi"? Che esiste $i$ tale che $p_i,p_{i+1},p_{i+2}$ sono primi consecutivi?

[Aethelmyth]

Si con $p_1<=p_i<=p_29$

[fields1]

Mah... Secondo me non è vero quello che afferma il quesito, forse hai riportato male il testo.

[Aethelmyth]

Hai ragione era $30|(p_1^4+p_2^4+p_3^4+...+p_31^4)$ perdonatemi

[TomSawyer1]

Ah, ecco. Tu hai la dimostrazione?

[Aethelmyth]

Si lo ho risolto, non è troppo difficile

[carlo232]

"Aethelmyth":Hai ragione era $30|(p_1^4+p_2^4+p_3^4+...+p_31^4)$ perdonatemi

Supponiamo non sia $2|p_i$ per ogni $i=1,2...31$, sarebbe quindi $p_1^4+p_2^4+p_3^4+...+p_31^4-=31 -=1mod2$, impossibile.Supponiamo non sia $3|p_i$ per ogni $i=1,2...31$, sarebbe quindi,ricordando che $phi(3)=2$, $p_1^4+p_2^4+p_3^4+...+p_31^4-=31 -=1mod3$, impossibile.
Supponiamo non sia $5|p_i$ per ogni $i=1,2...31$, sarebbe quindi,ricordando che $phi(5)=4$, $p_1^4+p_2^4+p_3^4+...+p_31^4-=31 -=1mod5$, impossibile.

Per cui dalla primalità dei $p$ si ricava essere $p_1=2,p_2=3,p_3=5$

[Aethelmyth]

Per curiosità quanto ci hai messo? Io all'inizio ho impiegato poco per dimostrare che $p_1=2$ e $p_3=5$ (senza congruenze, per ogni n naturale $(2n+1)^4$ è un numero che termina per $5$ o per $1$), poi mi è arrivato il suggerimento di usare le congruenze per la divisibilità x 3