Dieci numeri meno uno

[axpgn]

Dieci numeri interi (non necessariamente tutti distinti) quando sono sommati assieme omettendone però uno a turno, danno i seguenti risultati $82, 83, 84, 85, 87, 89, 90, 91, 92$.
Quali sono i dieci numeri?

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Forse mi sfugge qualcosa, ma con 10 numeri e 10 "omissioni" non sarebbe lecito aspettarsi anche 10 risultati?!

[axpgn]

Eh, eh, eh … … è lecito aspettarselo ma non è la realtà … … va bene così …

[Super Squirrel]

Il minimo è 5 e il risultato con più presenze è 90?

[andomito]

Le soluzioni (limitandoci a numeri positivi) sono le colonne della seguente tabella, nelle quali il primo numero è sempre presente nelle nove somme indicate, gli altri si alternano.

7 15 23 31 39 47
15 14 13 12 11 10
14 13 12 11 10 9
13 12 11 10 9 8
12 11 10 9 8 7
10 9 8 7 6 5
8 7 6 5 4 3
7 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 1
5 4 3 2 1 0

Ho trovato la soluzione del sistema per bruta sostituzione , riportandolo a una equazione in due incognite, nella quale ho imposto che i valori fossero entrambi positivi e interi.

[axpgn]

@andomito: spoiler, please

[Super Squirrel]

@andomito
Le soluzioni andrebbero messe sotto spoiler!
Inoltre

mentre la prima colonna coincide con la soluzione a cui alludevo nel post precedente, le colonne successive non possono in alcun modo essere soluzioni del quesito proposto... anche se forse ho frainteso le tue parole, perché non ho capito cosa intendi con

"andomito":nelle quali il primo numero è sempre presente nelle nove somme indicate, gli altri si alternano

In ogni caso il mio ragionamento è stato il seguente:

Come detto nel primo post, da 10 numeri e 10 "omissioni" sarebbe lecito aspettarsi anche 10 risultati, ma avendone contati 9, mi sono riletto la traccia con più attenzione e quel non necessariamente tutti distinti (relativo ai 10 numeri) mi ha fatto ipotizzare che i seguenti risultati fosse da intendere come i seguenti diversi risultati, da cui si deduce che uno dei risultati, e quindi anche uno dei 10 numeri, si ripete due volte. Prima di mettermi all'opera ho preferito comunque chiedere!
Consideriamo la seguente tabella:



- la prima riga contiene i 9 risultati in ordine decrescente;
- la seconda riga contiene le differenze tra il risultato massimo 92 (ottenuto sottraendo dalla somma totale dei 10 numeri il loro minimo $x$) e il generico risultato. La somma di tale riga vale 45;
- la terza riga contiene i 9 numeri distinti che formano la soluzione espressi in funzione di $x$;
- a questo punto il risultato massimo (92) può essere espresso come:
$9x+45+y=92 => x=(47-y)/9$
dove $y$ può assumere uno dei valori elencati nella seconda riga e rappresenta la differenza tra il numero che si ripete due volte e $x$;
- andando a sostituire le varie $y$ nell'equazione si ottiene che l'unica soluzione intera possibile è $y=2$ e $x=5$.

[axpgn]

a tutti e due

Un'altra via è questa …

Dati i dieci numeri $n_1<=n_2<=…<=n_(10)$, sia $S$ la loro somma.

Le somme "monche" sono $S-n_1, S-n_2, …, S-n_(10)$ e sommandole assieme abbiamo $10S-S=9S$

D'altra parte sommando i risultati otteniamo $783+x$ dove la $x$ rappresenta il risultato "doppio" e incognito.

Quindi $783+x=9S$ da cui $x=9S-783$

Notiamo che il membro di destra è divisibile per nove quindi deve esserlo anche $x$ e l'unico risultato che ha questa caratteristica è $90$. Da qui in poi sono solo calcoli …

Cordialmente, Alex

P.S.: per favore @andomito, metti sotto spoiler le tue risposte e relativi ragionamenti.
Questo perché in questa sezione (e in quelle simili) non si vuole togliere a chi ci legge il piacere (eventuale ) di riuscire a risolvere da soli il quesito senza essere influenzato dai ragionamenti altrui. Grazie

[andomito]

Scusate, sono un novellino del sito e non sono ancora pratico di spoiler e di formule

Le soluzioni da me proposte ipotizzavano che le somme date erano relative a solo 9 delle 10 possibili somme di 9 dei numeri dati. Perciò, dette $x_i$ con i=[1-10] le dieci incognite avevo un sistema di nove equazioni del tipo
$\sum_{i=1}^10 x_i -(x_i)_(i=2-10)$= 82, 83 ...
in cui sostanzialmente è sempre presente $x_1$ mentre gli altri componenti variano
ne ricavo $x_1 + 8 x_2 -45=82$ =>$x_1=127- 8 x_2$
A questo punto, imponendo $x_i\in N+$ => $x_2\geq 11$ posso trovare 5 set di soluzioni per $x_2=$11, 12, 13, 14 e 15
L'ultima di tali soluzioni corrisponde a quella (unica) che si ha interpretando il testo nel senso che la lista dei nove risultati riportati è relativa a tutte le 10 somme possibili, ovvero supponendo che due dei numeri incogniti hanno lo stesso valore

[andomito]

Ho rettificato il precedente messaggio poiché avevo indicato soluzioni i R+ invece che in N+ (solo numeri interi).
Per curiosità, cercando soluzioni in R+ ne ho altre nove del tipo

$x_1=x_2=14,\bar 1$ ...

$x_1==13,\bar 2 ; x_2=14,\bar 2$ ...

etc...