Dalla gara a squadre

[FreddyKruger]

Quante sono le coppie ordinate di numeri $a,b$ tali che $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}=\sqrt{ab-1}$, con la condizione che $a,b\leq 2012$?

[giannirecanati]

Ma si intende numeri interi ?
Comunque metto alcune condizioni affinché i radicali abbiano senso:
\(\displaystyle a\geq 1 \), \(\displaystyle b\geq1 \), \(\displaystyle ab\geq 1 \).
Elevo al quadrato ed ottengo: \(\displaystyle 2\sqrt{(a-1)(b-1)}=(a-1)(b-1) \) da cui:
\(\displaystyle \sqrt{(a-1)(b-1)}\left(2- \sqrt{(a-1)(b-1)}\right)=0 \).
Adesso se \(\displaystyle a=1 \) allora l'equazione è verificata per ognuno dei \(\displaystyle 2012 \) valori di \(\displaystyle b \), infatti \(\displaystyle 1\leq b \leq 2012 \).
Simmetricamente se \(\displaystyle b=1 \) allora l'equazione è verificata per ognuno \(\displaystyle 2011 \) valori di \(\displaystyle a \) (esclusa la coppia \(\displaystyle (1,1)\) contata sopra), anche qui \(\displaystyle 1\leq a \leq 2012 \).
Supponendo ora \(\displaystyle a,b>1 \), considero l'altro fattore da cui ricavo \(\displaystyle (a-1)(b-1)=4 \), facendo i sistemi con i divisori trovo come soluzioni \(\displaystyle (a,b)=(2,5);(5,2);(3,3) \). Da cui le coppie che verificano l'equazione sono:
\(\displaystyle 2012+2011+3=4026 \).

[FreddyKruger]

Anche a me è venuto così