Curiosità su una successione

[gygabyte017]

Ho trovato per caso questa cosa:

Fissati $a_0$ e $a_1$, definiamo la successione $a_n=|a_(n-2)-a_(n-1)|$.

Esempi di successioni che si generano scegliendo a caso $a_0$ e $a_1$

4 7 3 4 1 3 2 | 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ...
8 | 4 4 0 4 4 0 4 0 0 ...
6 8 2 6 4 | 2 2 0 2 2 0 2 2 0 ...

Si vede che da un certo punto in poi, ogni successione finisce con il ripetere della sequenza X X 0, dove con mia enorme sorpresa ho capito che $X=MCD(a_0,a_1)$!

Ora mi chiedo: come si può dimostrare questa proprietà? E' una coincidenza?!?

[bboypa]

se $(a_1, a_2)=m>1 \implies a_i \equiv 0 mod m \forall i \in \mathbb{N}$, per consideriamo wlog $\{A_i\}=\{\frac{a_i}{m}\}$ con $(A_1,A_2)=1$. Abbiamo che $0 \le A_{n+2} < min\{A_n, A_{n+1}\}, \forall n>0 \implies \exists i \in \mathbb{N} \text{ s.t.} A_{i}>1 \text{ e } A_{i+1}=1$. Da qui la tesi per induzione.