Curiosità
"Eredir":
Sia $f(x)$ la funzione costituita da triangoli di altezza $|k|$ e base $2 / |k|^3$ per ogni $k in ZZ - {0}$ (per $k = 0$ la poniamo uguale a zero).
L'area del k-esimo triangolo è chiaramente data da $A_k = 1/2 * 2/(|k|^3) * |k| = 1 / (k^2)$.
Quindi l'integrale si riduce semplicemente alla somma di queste aree, ovvero $f(x) = \int_(-oo)^(+oo) f(x) dx = 2 \sum_(k=1)^(+oo) A_k = \pi^2 / 3$.
quello che vedete sopra è stato preso dalla sezione "giochi matematici" e in particolare dal seguente topic https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... &start=280
in particolare mi ha colpito la scrittura $\int_(-oo)^(+oo) f(x) dx = 2 \sum_(k=1)^(+oo) A_k$ e a tal proposito ho una domanda:
quando è che un integrale può essere uguagliato con una serie?
grazie
P.S. non ho posto la domanda nella sezione giochi matematici e tanto meno nel relativo topic perchè la domanda di ludico non ha niente; è una domanda tecnica che nasce dalla curiosità di un ignorante
Risposte
beh, in teoria un integrale, visto un po' alla lontana, è quasi sempre una serie, anzi, una sommatoria. infatti quello che fai per definire un integrale è prendere una partizione dell'insieme su cui stai integrando e costruirci sopra dei rettangolini, dopodiché sommi le aree di tutti i triangolini.
in ogni caso, puoi sempre far coincidere un integrale con una sommatoria, oppure con una serie nel caso dell'integrale improprio, se trovi una partizione tale per cui per ogni figura (rettangolo o, in questo caso, triangolo che sia) che ci disegni sopra, l'area delle figure copre esattamente l'area della funzione.
ti faccio un esempio banale ma che forse può aiutarti:
prendo$f(x)=x$ e calcolo
$int_0^5f(x)dx$
cosa facciamo:creo una partizione formata dagli insiemi del tipo $[n-1, n)$ $n=1,2,3,4,5$
su ogni insieme della partizione creo un trapezio nella maniera ovvia: la sua base maggiore sarà data da $f(n)=n$, la base minore da $f(n-1)=n-1$, l'altezza da $n-(n-1)=1$. l'area di ciascun trapezio sarà quindi $(n+n-1)1/2$.
siccome i miei trapezi coprono esattamente l'area corrispondente all'integrale*, si ha:
$int_0^5xdx=sum_(n=1)^5(2n-1)/2=25/2$
*è vero che per come ho scelto la partizione non copro la retta verticale in x=5, ma non è difficile intuire che il risultato non ne risente.
spero di essere stato esauriente...
in ogni caso, puoi sempre far coincidere un integrale con una sommatoria, oppure con una serie nel caso dell'integrale improprio, se trovi una partizione tale per cui per ogni figura (rettangolo o, in questo caso, triangolo che sia) che ci disegni sopra, l'area delle figure copre esattamente l'area della funzione.
ti faccio un esempio banale ma che forse può aiutarti:
prendo$f(x)=x$ e calcolo
$int_0^5f(x)dx$
cosa facciamo:creo una partizione formata dagli insiemi del tipo $[n-1, n)$ $n=1,2,3,4,5$
su ogni insieme della partizione creo un trapezio nella maniera ovvia: la sua base maggiore sarà data da $f(n)=n$, la base minore da $f(n-1)=n-1$, l'altezza da $n-(n-1)=1$. l'area di ciascun trapezio sarà quindi $(n+n-1)1/2$.
siccome i miei trapezi coprono esattamente l'area corrispondente all'integrale*, si ha:
$int_0^5xdx=sum_(n=1)^5(2n-1)/2=25/2$
*è vero che per come ho scelto la partizione non copro la retta verticale in x=5, ma non è difficile intuire che il risultato non ne risente.
spero di essere stato esauriente...
Piu' precisamente, quello che e' stato fatto nel topic citato da Wizard e' scambiare il segno di integrale con quello di serie. Questo e' possibile sotto determinate condizioni di regolarita'.
ok...grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo