Cubo di Rubik
Quante sono le possibili disposizioni di un cubo di Rubik risolvibile?
Ho trovato questo numero su un sito ma vorrei confrontarlo con voi; un'alra domanda, che un po' aiuta ma è il nocciolo del problema: se smonto un cubo di Rubik e lo rimonto a caso quante possibilità ci sono che questo sia risolvibile?
Il Rubikondo WonderP.
Ho trovato questo numero su un sito ma vorrei confrontarlo con voi; un'alra domanda, che un po' aiuta ma è il nocciolo del problema: se smonto un cubo di Rubik e lo rimonto a caso quante possibilità ci sono che questo sia risolvibile?
Il Rubikondo WonderP.
Risposte
Ho trovato la seguente soluzione in Internet
QUOTE
The number of positions:There are 8 corner pieces with 3 orientations each, 12 edge pieces with 2 orientations each, giving a maximum of 8!·12!·3^8·2^12 positions. This limit is not reached because:
· The total twist of the cubes is fixed (3)
· The total number of edge flips is even (2)
· The pieces have an even permutation (2)
This leaves 8!·12!·3^7·2^10 = 43,252,003,274,489,856,000 or 4.3·1019 positions.
UNQUOTE
Allargo allora il quesito.
Quante sono le posizioni per un cubo risolvibile n*n*n ?
QUOTE
The number of positions:There are 8 corner pieces with 3 orientations each, 12 edge pieces with 2 orientations each, giving a maximum of 8!·12!·3^8·2^12 positions. This limit is not reached because:
· The total twist of the cubes is fixed (3)
· The total number of edge flips is even (2)
· The pieces have an even permutation (2)
This leaves 8!·12!·3^7·2^10 = 43,252,003,274,489,856,000 or 4.3·1019 positions.
UNQUOTE
Allargo allora il quesito.
Quante sono le posizioni per un cubo risolvibile n*n*n ?
Anche io ho trovato questa soluzione, ma non la trovo corretta, si deve dividere per 24 e causa delle rotazioni, ad esempio, a cubo risolto, posso avere sulla faccia superiore 6 colori diversi e per ognuna di queste 6 ci sono 4 rotazioni sull’asse verticale, quindi 6*4=24. queste rotazioni non mi sembrano tenute in considerazione, a meno che non mi si dica che ci sono 24 possibilità di soluzione su tutte quelli indicate.
In più nella pratica non trovo completo riscontro in quanto scritto nel sito.
Il dubbioso WonderP.
In più nella pratica non trovo completo riscontro in quanto scritto nel sito.
Il dubbioso WonderP.
Ieri mi sono spiegato male. Parto dall’inizio. Il cubo è formato da 8 angoli e 12 spigoli. Montando a caso il cubo ottengo 8!•12!•3^8•2^12 posizioni e ci sono 24 modi di ruotare il cubo. A tutte queste devo togliere quelle in cui il cubo e irrisolvibile.
Per esperienza posso affermare che un solo elemento (angolo e/o spigolo) non può essere ruotato su se stesso (flippato), uno spigolo a due rotazioni, un angolo tre, quindi c’è solo un caso su 6 (e non su 12 come ho trovato in alcuni siti).
WonderP.
Per esperienza posso affermare che un solo elemento (angolo e/o spigolo) non può essere ruotato su se stesso (flippato), uno spigolo a due rotazioni, un angolo tre, quindi c’è solo un caso su 6 (e non su 12 come ho trovato in alcuni siti).
WonderP.
Wonderp,
per il cubo 3x3 (in generale per cubi n*n con n dispari)
non devi considerare le 24 rotazioni.
Infatti, puoi assumere che i centri delle 6 facce siano
sempre allo stesso posto (senza ledere di generalita')
rispetto ad un sistema di riferimento fisso.
Quindi effettivamente il numero delle possibili configura-
zioni e' 8! 12! 3^8 2^12.
Anche a me non e' chiaro il perche' lo si debba poi
dividere per per 2*2*3 /
per il cubo 3x3 (in generale per cubi n*n con n dispari)
non devi considerare le 24 rotazioni.
Infatti, puoi assumere che i centri delle 6 facce siano
sempre allo stesso posto (senza ledere di generalita')
rispetto ad un sistema di riferimento fisso.
Quindi effettivamente il numero delle possibili configura-
zioni e' 8! 12! 3^8 2^12.
Anche a me non e' chiaro il perche' lo si debba poi
dividere per per 2*2*3 /
OK, ci sono che le 24 rotazioni non si contano, non avevo pensato che posso tenere fermi i centri, ma sono stato tratto in errore da una frase che ho trovato in un sito che spiegava il “diviso 12”
La frase è
“se noi provassimo a smontare fisicamente il cubo e a rimontarlo in modo casuale, avremo esattamente una possibilità su dodici di aver montato un cubo veramente risolvibile: ad esempio noi non potremo mai ottenere un cubo con due centri opposti scambiati tra loro”
ma questa frase comporta lo spostamento dei centri o meglio la posizione, come se smontassimo anche quelli.
Dunque manca ancora un fattore due che non mi spiego, ma lo si trova in più sito e voglio arrivare alla soluzione!
WonderP.
La frase è
“se noi provassimo a smontare fisicamente il cubo e a rimontarlo in modo casuale, avremo esattamente una possibilità su dodici di aver montato un cubo veramente risolvibile: ad esempio noi non potremo mai ottenere un cubo con due centri opposti scambiati tra loro”
ma questa frase comporta lo spostamento dei centri o meglio la posizione, come se smontassimo anche quelli.
Dunque manca ancora un fattore due che non mi spiego, ma lo si trova in più sito e voglio arrivare alla soluzione!
WonderP.
Wonderp,
la soluzione che hai trovato sul sito corrisponde a
quella che ho trovato io, infatti il divisore del
numero di configurazioni possibili e' in entrambi
i casi 12=2*2*3.
la soluzione che hai trovato sul sito corrisponde a
quella che ho trovato io, infatti il divisore del
numero di configurazioni possibili e' in entrambi
i casi 12=2*2*3.
Lo so ma proprio no capisco da quale configurazione salti fuori l’altro *2 e la frase ceh ho sottolineato sopra non mi aiuta affatto.
WonderP.
WonderP.
hei WonderP!!!
riprendo questo topic...sebbene non sappia cosa sia un cubo di Rubik per segnalarti questo forum in cui ne discutono..c'è un tizio che propone un porgramma...vedi se ti è utile...
http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&topic=1998&forum=12
ciao
il vecchio
riprendo questo topic...sebbene non sappia cosa sia un cubo di Rubik per segnalarti questo forum in cui ne discutono..c'è un tizio che propone un porgramma...vedi se ti è utile...
http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&topic=1998&forum=12
ciao
il vecchio
Come non sai che cosa sia il Cubo di Rubik? Penso sia uno dei migliori rompicapi degli anni ’80-’90! Guarda in questo sito di cosa si tratta, vai a comprartene uno e prova a risolverlo, senza però utilizzare suggerimenti che puoi trovare in rete. Passerai qualche settimana divertendoti.
Ti ringrazio anche del sito, ma il mio problema non è risolverlo ma vedere quando è possibile risolverlo…
Ti ringrazio anche del sito, ma il mio problema non è risolverlo ma vedere quando è possibile risolverlo…
Salve, sono l'autore del programma di cui si parla sopra (tra l'alro qualcuno di voi l'ha provato? Per ora è ancora in versione beta, ma sto lavorando a una nuova versione), comunque posso dirvi che il numero di possibili combinazioni sul cubo di Rubik è di: 2^27*3^14*5^3*7^2*11=43252003274489856000. Posso anche dire che solo una combinazione su 12 di quelle ottenibili smontanto e rimontando il cuno è "legale".
Sto preparando una tesina di algebra riguardo il cubo, quando l'avrò finita, se qualcuno è interessato, penso di pubblicarla in rete.
Sto preparando una tesina di algebra riguardo il cubo, quando l'avrò finita, se qualcuno è interessato, penso di pubblicarla in rete.
citazione:
Posso anche dire che solo una combinazione su 12 di quelle ottenibili smontanto e rimontando il cuno è "legale".
Mi spiegheresti perché 12? Io sono un risolutore autoditatta del cubo da anni e l'esperienza mi ha insegnato che non è risolvibile un cubo che abbia un solo pezzo "flippato" (flipparto=ruotato su se stesso). lo spigolo può essere flippato in due modi, un vertice in 3 modi, quindi solo una su 3*2 = 6 possibilità è quella giusta. Mi manca un ultiriore fattore 2 che non capisco da dove salti fuori.
WonderP.
Quello che dici è in parte giusto, in effetti l'orientazione di 7 angoli determina autormaticamente l'orientazione dell'ottavo, e l'orientazione di 11 spigoli determina l'orientazione dell'ultimo, tuttavia esiste un ulteriore condizione che non hai considerato: immagina di poter scambiare fra loro di posto due angoli oppure due spigoli qualsiasi senza causare danno al resto del cubo (tali mosse sono impossibili da realizzare, e la dimostrazione di ciò è piuttosto banale, immaginarsele serve appunto a capire quando una posizione è impossibile), chiamiamo queste mosse scambi. Da un noto teorema di algebra lineare segue immediatamente che qualunque sia la posizione dei pezzi mediante un certo numero di scambi di angoli e di spigoli possiamo portare tutti i pezzi al loro posto (l'orientazione qui non conta). Come forse saprai il numero di scambi per ogni permutazione non è ben definito, tuttavia è ben definita la parità di questo numero. Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché una posizione sia possibile è che la parità delle due permutazioni (cioè la parità del numero di scambi necessari per rimetterle a posto), degli angoli e degli spigoli, sia la stessa.
Per farti un esempio smonta il cubo e rimontalo scambiando fra loro la posizione di due spigoli adiacenti, cioè appartenenti alla stessa faccia e a due lati di quest'ultima consecutivi. A partire da questa posizione è impossibile sistemare tutti i pezzi nella loro corretta posizione, anche senza curarsi dell'orientazione. In questo caso infatti la parità delle due permutazioni è diversa servendo 0 scambi per sistemare gli angoli e 1 scambio per sistemare gli spigoli.
Da qui nasce un ulteriore fattore 2 da considerare nella caratterizzazione delle posizioni possibili, metà delle permutazioni degli angoli e degli spigoli (cioè quelle con diverse parità) vanno scartate.
Ciao!
ps se desideri qualche altra informazione sul cubo, come una condizione necessaria e sufficiente per determinare se una posizione è possibile, e tutte le dimostrazioni di ciò che dico fammi sapere
Per farti un esempio smonta il cubo e rimontalo scambiando fra loro la posizione di due spigoli adiacenti, cioè appartenenti alla stessa faccia e a due lati di quest'ultima consecutivi. A partire da questa posizione è impossibile sistemare tutti i pezzi nella loro corretta posizione, anche senza curarsi dell'orientazione. In questo caso infatti la parità delle due permutazioni è diversa servendo 0 scambi per sistemare gli angoli e 1 scambio per sistemare gli spigoli.
Da qui nasce un ulteriore fattore 2 da considerare nella caratterizzazione delle posizioni possibili, metà delle permutazioni degli angoli e degli spigoli (cioè quelle con diverse parità) vanno scartate.
Ciao!
ps se desideri qualche altra informazione sul cubo, come una condizione necessaria e sufficiente per determinare se una posizione è possibile, e tutte le dimostrazioni di ciò che dico fammi sapere
Capito! Grazie per aver risolto questo problema che mi assillava da un po' di tempo.
WonderP.
WonderP.
Una curiosità, è possibile risolvere il cubo di Rubik senza istruzioni?
Certo, ci sono anche i campionati!! Attualmente credo che il record del mondo sia qualcosa come 12 secondi, o forse 22. Comunque i più bravi impiegano stabilmente intorno ai 30 secondi...
quelli le istruzioni le sanno a memoria, io intendevo se è possibile prendere un cubo di rubik e senza ausili esterni risolverlo
Bhè.. solo per il fatto che le istruzioni esistono qualcuno deve averle inventate, e quello non le conosceva certo a memoria!
Credo che il primo a trovare una tattica che funzionasse sempre sia stato un ragazzino di 12 anni, di cui non ricordo il nome purtroppo, che rottosi il braccio decise di dedicarsi al cubo per passare il tempo, trovò una tattica e fini per scrivere addirittura un libro.
Comunque lo stesso Rubik riuscì a risolvere il cubo, anche se la prima volta impiegò molto tempo, circa un mese.
E poi quelli che lo risolvono in fretta non è che sanno tutto a memoria, io impiego circa 3 minuti a risolverlo, ma so solo 5 sequenze a memoria, e di fatto le si impara a memoria solo perché le si esegue molto spesso, ma non è difficile capire perché funzionano e allora non è strettamente necessario saperle a memoria, anche se aiuta in velocità
Credo che il primo a trovare una tattica che funzionasse sempre sia stato un ragazzino di 12 anni, di cui non ricordo il nome purtroppo, che rottosi il braccio decise di dedicarsi al cubo per passare il tempo, trovò una tattica e fini per scrivere addirittura un libro.
Comunque lo stesso Rubik riuscì a risolvere il cubo, anche se la prima volta impiegò molto tempo, circa un mese.
E poi quelli che lo risolvono in fretta non è che sanno tutto a memoria, io impiego circa 3 minuti a risolverlo, ma so solo 5 sequenze a memoria, e di fatto le si impara a memoria solo perché le si esegue molto spesso, ma non è difficile capire perché funzionano e allora non è strettamente necessario saperle a memoria, anche se aiuta in velocità
Io sapevo che le istruzioni sono state ricavate a computer, io ci mettevo una mezz'ora però le mosse me le ero trovate da me, ma non mi sono mai rotto un braccio, io sono daltonico:-)
Modificato da - cannigo il 21/01/2004 08:55:02
Modificato da - cannigo il 21/01/2004 08:55:02
Il record del mondo è attorno ai 16-17 secondi. Personalmente impiego attorno ai 2'30" con un personale di 1'01". La passione dei giochi matematici mi ha portato a trovare da solo una soluzione che si è velocizzata nel tempo. Ho spulciato siti riguardanti il cubo solo per vedere se il mio metodo assomigliava agli altri.
Il mio metodo consisteva nel completare una faccia, sistemare tutti i vertici e poi completare ogni faccia sistemando i quadretti centrali e mediani a coppie di due(quattro), il tuo come funziona?
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