Cubi perfetti...

[TomSawyer1]

Trovare tutti gli interi $n$ tali che $7n^3-3n^2-3n-1$ è un cubo perfetto.

Questo problema è interessante, perché ha una soluzione carina che sfrutta un noto e recente teorema.

[_luca.barletta]

Innanzitutto riscriviamo
$7n^3-3n^2-3n-1=(an+c)^3+(bn+d)^3=n^3(a^3 + b^3) + n^2(3a^2c + 3b^2d) + n(3ac^2 + 3bd^2) + c^3 + d^3$
che porta al sistema
${(a^3+b^3=7),(3a^2c+3b^2d=-3),(3ac^2 + 3bd^2=-3),(c^3 + d^3=-1):}$

Notiamo subito che l'unica soluzione per $a^3+b^3=7$ è $a=-1$, $b=2$, quindi rimane
${(3c+12d=-3),(-3c^2 + 6d^2=-3),(c^3 + d^3=-1):}$

da $c^3 + d^3=-1$ vediamo subito che può essere $c=0$, $d=-1$ oppure $c=-1$, $d=0$, ma la soluzione con $c=0$ è da scartare, altrimenti non riusciremmo a soddisfare la 2a equazione; infine notiamo che $c=-1$, $d=0$ effettivamente soddisfa tutto il sistema.
Pertanto:
$7n^3-3n^2-3n-1=(-n-1)^3+(2n)^3$

(in realtà si poteva vedere subito ad occhio, ma ho preferito dilungarmi). Bene, a questo punto deve essere:
$(-n-1)^3+(2n)^3=k^3$
e per il teorema di Wiles-Taylor almeno un termine deve annullarsi:
$n=-1 rarr k=-8$
$n=0 rarr k=0$
$n=1 rarr k=0$

[TomSawyer1]

Perfetto.. Dilungandoti, eviti domande del genere: "come hai visto quell''identità?".

PS: faceva più scena dire "e per l'Ultimo Teorema di Fermat, almeno un termine..."