Cubi Colorati

[axpgn]

Un passatempo e alcune domande ...

Un cubo ha sei facce e se scegliamo sei colori possiamo dipingere ogni faccia con un colore diverso.
Permutando i sei colori in tutti i modi possibili, quanti cubi diversi possiamo ottenere?

Adesso facciamo un giochino ...
Prendiamo a caso uno di questi cubi e proviamo a replicarlo ... più precisamente, selezioniamo otto cubi tra i rimanenti e con questi ne costruiamo uno che abbia dimensioni lineari doppie del cubo "modello" e sia colorato (esternamente) allo stesso modo; ma non solo, le facce (nascoste) che andranno a combaciare l'una all'altra dovranno avere lo stesso colore.
È possibile fare ciò?

Cordialmente, Alex

[veciorik]

"axpgn":... quanti cubi diversi possiamo ottenere?

$30=5*3*2$

"axpgn":... È possibile fare ciò?

No

[orsoulx]

L'a volte vecchio Rik è sempre il meglio.

"axpgn": ...selezioniamo otto cubi tra i rimanenti...

questa condizione è cattiva (come te)

E se la replica fosse da 27 cubetti?

Ciao
B.

[orsoulx]

Quasi, quasi ci ripenso.
Forse quella condizione è buona (come me) e si può fare.
Ciao
B.

[orsoulx]

Sì, è possibile fare ciò.

Ciao
B.

[veciorik]

Ho rimuginato sulla seconda domanda.

Credo che si possa costruire il cubone, ma non so come dimostrarlo.

[axpgn]

Questa era la parte facile ...

Ok, i cubi diversi sono $30$ ed è possibile costruire il "cubone" nel modo richiesto.

In quante modalità è possibile selezionare gli otto cubi necessari ?
Come si fa a selezionarli ? (oltreché per tentativi ... )
Come si fa a "montarlo"?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Seconda parte :

[strike]2[/strike]; 1, con 2 montaggi diversi [me l'ha fatto notare il figlio della vicina (sei anni appena compiuti)]
guardandoli con gli occhi e prendendoli con le mani;
appoggiandone, meglio su una superficie piana, quattro accostati fra loro a formare un parallelepipedo 2x2x1. I restanti quattro si sovrappongono esattamente ai primi.

Ciao
B.

[axpgn]

"orsoulx":
[strike]2[/strike]; 1, con 2 montaggi diversi [me l'ha fatto notare il figlio della vicina (sei anni appena compiuti)]

Caspiterina!

"orsoulx":guardandoli con gli occhi e prendendoli con le mani;

Questo è sicuramente vero però esiste (almeno) un metodo più definito e particolareggiato.

"orsoulx":
appoggiandone, meglio su una superficie piana, quattro accostati fra loro a formare un parallelepipedo 2x2x1. I restanti quattro si sovrappongono esattamente ai primi.

Come sopra ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Ho una risposta intuitiva ma insufficiente come rigore matematico.

Il cub-otto ha le facce esterne uguali al cubetto modello, quindi sono uguali anche gli 8 vertici, in ognuno dei quali si incontrano 3 facce esterne dei cubetti.
Fissata la configurazione di ciascuno degli 8 vertici, se non ci fossero altri vincoli, le 3 facce nascoste del corrispondente cubetto possono essere configurate in 6=3*2 modi distinti.
Uno di questi sei modi va scartato perché corrisponde al cubetto scelto come modello.
Comunque sarebbe scartato anche a causa dei vincoli di omocromia nei contatti con altri 3 cubetti: per ogni faccia nascosta si esclude il colore della corrispondente faccia esterna del cubetto adiacente, ossia della faccia opposta alla faccia di contatto.
Questi vincoli escludono 4 modi dei 6 lasciando solo 2 configurazioni ammissibili per ogni cubetto.
Allora ....., boh ?

Mi sono arenato.

[orsoulx]

"veciorik":Mi sono arenato

Ottima scelta lessicale. Arenato, non 'incagliato': la sabbia è soffice; l'acqua bassa, cristallina e tiepida; se ti volti vedi le palme a dieci metri.

Guardando una faccia qualsiasi del dadone, dove devono finire le facce, con il colore che stai osservando, dei dadini nello strato invisibile?

Ciao
B.

[veciorik]

"orsoulx":
Guardando una faccia qualsiasi del dadone, dove devono finire le facce, con il colore che stai osservando, dei dadini nello strato invisibile?

Qui c'ero già arrivato, quasi subito:

sono perpendicolari alla faccia in primo piano, in due posizioni alternative perpendicolari tra loro.

Non riuscivo a dimostrare se le due configurazioni alternative rappresentano due insiemi di 8 cubetti diversi oppure due riarrangiamenti degli stessi cubetti.
Per farcela ho dovuto rivedere e correggere più volte il mio procedimento, che ora vi illustro:

[*:1onrg01i]uso dadi numerati 1-6, c'est plus facile;[/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]uso come modello il dado standard con somma degli opposti 7 e vertice 123 in senso antiorario; [/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]lo rappresento come 16.25.34 : 3 coppie di opposti, con primi elementi ordinati crescenti e in senso antiorario;[/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]inizio dal dado con vertice 123 visibile;[/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]6 non può opporsi a 1, e anche 5 e 4 non si oppongono a 2 e 3;[/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]restano due configurazioni, che rappresento come detto sopra: 14.26.35 e 15.24.36; [/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]ripeto il procedimento per il dado agli antipodi e vertice visibile 456; [/*:m:1onrg01i]
[*:1onrg01i]ottengo 41.53.62 e 42.51.63 che, adeguatamente riordinate, diventano 14.26.35 e 15.24.36[/*:m:1onrg01i][/list:u:1onrg01i]
WOW, sono gli stessi dadi del vertice 123
Ho verificato che vale per tutte le coppie di vertici opposti, ma forse non serviva.
Ho verificato che sono soddisfatti i vincoli che due facce nascoste a contatto hanno lo stesso numero/colore.
Ergo sono due riarrangiamenti degli stessi 8 dadi.

Che fatica: non riuscivo a trovare un modo conveniente per rappresentare le configurazioni 3-dimensionali e confrontarle !
Ho provato millanta disegnini e mi incasinavo sempre.
Non ditemi che avete un metodo più lineare

[axpgn]

Yes ...

Supponiamo di chiamare i colori $a,b,c,d,e,f$.
Prendiamo il cubetto modello $K$ e lo appoggiamo sul tavolo, per fissare le idee poniamo che la faccia inferiore sia colorata con $f$, quella superiore con $a$ e quelle laterali $b,c,d,e$ fronteggino rispettivamente Est, Nord, Ovest e Sud.
Una tale configurazione possiamo denotarla così $K:=(f;a;b,c,d,e)$.
Ogni faccia ha quattro angoli e ad ogni angolo si incontrano tre colori, se permutiamo ciclicamente questi colori otteniamo altri due cubi per ogni angolo, in totale otto che sono quelli desiderati.
Per esempio prendiamo la faccia superiore e l'angolo di nordest: permutando due volte otteniamo $K1:=(f;c;a,b,d,e)$ e $K2:=(f;b;c,a,d,e)$; con l'angolo di nordovest otteniamo $K3:=(f;d;b,a,c,e)$ e $K4:=(f;c;b,d,a,e)$, con quello di sudovest abbiamo $K5:=(f;e;b,c,a,d)$ e $K6:=(f;d;b,c,e,a)$ ed infine con quello di sudest abbiamo $K7:=(f;e;a,c,d,b)$ e $K8:=(f;b;e,c,d,a)$.

Per montarlo prendiamo i cubi $K3, K6, K8$ e $K2$ per il "piano di sotto" mettendoli rispettivamente negli angoli SE, NE, NW, SW con la faccia colorata con $f$ verso il piano, mentre la faccia colorata con $b$ dei cubi $K3, K6$ verso est e la faccia colorata con $d$ dei cubi $K2, K8$ verso ovest.
Gli altri quattro cubi $K7, K1, K4$ e $K5$ per il "piano di sopra", disposti nell'ordine detto prima, con la faccia colorata con $a$ verso l'alto, la faccia colorata con $b$ dei cubi $K7, K1$ verso est e la faccia colorata con $d$ dei cubi $K5, K4$ verso ovest.

Se poi sia più lineare o no, vedi tu ...

Cordialmente, Alex