Cubi bianchi

[axpgn]

Ho a disposizione un cospicuo numero di cubi di legno, tutti uguali, tutti della stessa dimensione.
Avendo tempo, ho deciso di dipingerli tutti di bianco e poi di disegnare su ogni faccia una linea che congiunga i punti medi di due spigoli opposti.

Quanti cubi differenti ovvero distinguibili uno dall'altro posso ottenere?

Cordialmente, Alex

[Mario751]

Ciao Ax questi cubi sono orientabili?

[axpgn]

Sì, certo.
La differenza non dipende dalla posizione in cui li metto o li osservo.
È "intrinseca"

[Mario751]

Devo ancora inquadrare bene il succo del problema

Questi cubi sono apribili/smontabili?
Potrei smontare delle facce e rimontarle al contrario in modo da creare dei cubi differenti e distinguibili

Ma francamente non so se è proprio questo il senso del quesito...

[axpgn]

Sono cubi di legno quindi non si aprono né si smontano
Semplicemente li dipingo come detto …

Per esempio, se io dipingessi una riga come detto SOLO su una faccia, lasciando in bianco le altre cinque, tutti i cubi sarebbero uguali, indistinguibili uno dall'altro

Di fatto avrei UN solo cubo, un solo tipo di cubo …

[orsoulx]

$ 8 $

Se non sbaglio, tracciando su ciascuna faccia, una delle due possibili linee sorteggiandola con probabilità $ 1/2 $, alcune configurazioni sono mooolto più probabili di altre. Quanto valgono queste probabilità?
Ciao

[axpgn]

Dopo aver ponderato parecchio ecco una probabile soluzione

$A: 6$
$B: 6$
$C: 6$
$D: 24$
$E: 12$
$F: 4$
$G: 4$
$H: 2$

Per un totale di $64$ possibilità

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Qualcuno conferma?

[axpgn]

In attesa della conferma ( ) propongo questa variante …

Se invece di tracciare una linea su ogni faccia del cubo che va dal punto medio di uno spigolo al punto medio di quello opposto, tracciassi una linea che unisce due vertici opposti di ogni faccia, quanti sarebbero i cubi distinguibili?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Qualcuno conferma?

Per quanto poco possa valere, i nostri valori coincidono.
Con la variante ottengo ancora gli stessi risultati, ma mi pare ci sia una sorta di dualità.Qualche algebrista potrebbe approfondire.
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":Per quanto poco possa valere, …

Non ho approfondito la variante (mi sono sforzato troppo per l'originale ) ma riporto cosa dice l'autore:

"La soluzione più semplice di questo problema si basa su quella del precedente.
Ci sono 8 cubi distinguibili che hanno una linea centrale parallela ai due spigoli.
Se, in ognuna di esse, immaginiamo di ruotare la linea centrale di 45 gradi verso destra, come vista da un punto dentro il cubo, abbiamo ancora 8 cubi distinguibili che soddisfano le nuove condizioni.
E non ce ne sono altri."

Che ne pensi?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Ottima l'idea della rotazione rispetto ad centro del cubo. In questo modo si sistema, geometricamente, la dualità che avevo notato. Mi rimane, però, il presentimento di qualcosa che non riesco a sviluppare razionalmente.
Ad esempio: in ambo i casi esiste un'unica coppia di tracciati distinguibili solamente per chiralità. Epperò la rotazione (o dualità che dir si voglia) le trasforma in coppie notevolmente diverse.
Ciao

[axpgn]

Non so come tu faccia a "vederli" così chiaramente

Ho provato a farne uno schizzo e sono proprio due cose diverse; ruotandone una, si creano due triangoli equilateri mentre ruotando l'altra si ottengono tre "raggi" che partono da un vertice e tre "raggi" da un altro.
È strano e carino

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Dopo lungo ponzamento, mi sembra abbastanza semplice:

Ogni coppia di facce opposte può assumere solo 2 configurazioni: i due tratti sono tra loro o paralleli o ortogonali, sia nel caso delle diagonali che dei segmenti mediani.
Poiché le coppie sono 3, i cubi distinguibili sono $8=2^3$, a meno di rotazioni, come sottointeso.
Ad esempio, 3 coppie parallele generano un solo cubo così fatto: 2 coppie formano comunque un quadrato che dimezza il cubo, l'altra coppia apparentemente ha 2 posizioni diverse che però sono riconducibili l'una all'altra mediante rotazione di 90 gradi.
Per le altre 7 configurazioni ci vuole molta pazienza, se non si ha la visione !

[axpgn]

… mmm … sono dubbioso …

"veciorik":Ad esempio, 3 coppie parallele generano un solo cubo così fatto: 2 coppie formano comunque un quadrato che dimezza il cubo, l'altra coppia apparentemente ha 2 posizioni diverse che però sono riconducibili l'una all'altra mediante rotazione di 90 gradi.

Questo non è vero, tre coppie parallele generano anche un altro tipo di cubo, quello di tutti "singoletti".
D'altronde non è del tutto corretto dire che esistono $2^3$ coppie diverse, lo sarebbe se fossero ordinate cioè se il cubo fosse fissato nello spazio ma questo vincolo non c'è; di fatto esistono 3 coppie parallele, 2 parallele e 1 ortogonale, 1 parallela e 2 ortogonali e 3 ortogonali.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Aggiungo una "legenda" degli otto tipi che avevo postato precedentemente …

A: 4 linee a formare un anello + due parallele
B: 4 linee a formare un anello + due ortogonali
C: 3 linee a formare una "C" + 3 linee a formare una "C"
D: 3 linee a formare una "C" + 2 linee a formare un angolo retto + 1 una singola
E: 3 linee a formare una "C" + 3 linee singole
F: 3 coppie di due linee ad angolo retto (destra)
G: 3 coppie di due linee ad angolo retto (sinistra)
H: sei linee singole

Spero si capisca

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Eureka: sentivo che si poteva trovare una soluzione teorica di valore generale senza dover elencare le diverse configurazioni possibili presentate in modo "empirico", ma non riuscivo a mettere insieme i pezzi giusti.
Vi invito comunque a verificare se la mia soluzione è corretta e completa.

Un cubo è scomponibile in tre clessidre bi-piramidali le cui basi, quadrate, coincidono con le facce opposte del cubo.
Ogni clessidra può essere di due tipi: S=simmetrica se le sue due basi sono uguali secondo un criterio prestabilito, oppure A=antisimmetrica se le due facce sono considerabili una la negazione dell'altra secondo il suddetto criterio.
Nel caso proposto di facce con disegnata sopra una linea centrale, i disegni sulle facce opposte possono essere paralleli o perpendicolari tra loro. Idem per le linee diagonali. Ma possiamo pensare, per semplificare la visione, a due colori diversi considerati uno la negazione dell'altro: es. bianco/nero o rosso/verde. Oppure, se preferite, ai bit 0/1.

Dimenticando per ora l'aspetto delle facce, abbiamo 4 possibili scomposizioni del cubo in 3 clessidre di tipo S e A: SSS, SSA, SAA, AAA. Tali scomposizioni sono intrinseche, cioè non dipendono dal punto di osservazione.

Per arrivare alla risposta finale, cioè 8 cubi distinguibili, basta mostrare che ognuna delle 4 scomposizioni ammette 2 configurazioni distinte corrispondenti alla negazione dell'aspetto di tutte le 6 facce.
Usando i bit, 8 possibili configurazioni distinte sono: SSS=000-000 o 111-111, SSA=000-001 o 111-110, SAA=000-011 o 111-100, AAA=000-111 o 111-000.
Le terne corrispondono alle 3 clessidre osservate da 2 punti di vista: i vertici triedri opposti del cubo da cui si vedono contemporaneamente le 3 clessidre. L'ordine dei 3 bit in ogni terna, corrispondente alla rotazione di 120° attorno all'asse di visione, non cambia la sostanza purché il verso di rotazione nelle due terne sia sincronizzato, . Idem per lo scambio tra le due triplette.
Idem per la scelta dei punti di vista tra le 4 coppie di vertici opposti.

Se le facce del cubo fossero numerate da 1 a 6 avremmo $2^6=64$ cubi distinti.

[axpgn]

Non mi torna … per esempio, non riesco a cogliere la differenza tra le due SSS, non c'è differenza tra i sei zeri e i sei uno … inoltre ho scoperto un'altra cosa, per illustrarla devo mostrare gli otto tipi di cubi …

Tipo A

Tipo B

Tipo C

Tipo D

Tipo E

Tipo F

Tipo G

Tipo H

Come puoi notare i due tipi SSS (cubo A e cubo H) sono diversi fra loro solo di UNA di quelle bi-piramidi e non vedo come si possa conciliare con quella codifica; ma più importante è quello che si può notare direttamente guardando i diversi tipi di cubi e che esiste solo UNA bi-piramide SAA (cubo D) e ben tre SSA (cubi B - C - E)

Sempre che non abbia sbagliato qualcosa …

Cordialmente, Alex

[lucasroxx]

A:6
B:6
C:6
D:24
E:12
F:4
G:4
H:2
Per un totale di 64 possibilità