Coppie di Interi

[Aethelmyth]

Preso un primo $p$, trovare tutte le coppie ordinate $(n,m)$ di interi positivi che verifichino la seguente condizione:
$1/n+1/m=1/p$

[TomSawyer1]

$1/n+1/m=(n+m)/(nm)=1/p$. Dunque $(mn)/(n+m)=p$; sviluppando, si ottiene $m=(np)/(n-p)$. Due casi: $(n-p)|n$, cioè $n/(n-p)=k => n(k-1)=p$, cioè $k=2$, e $n-p=n/2=>n=2p$; $(n-p)|p=>n=2p$, e si vede che anche $m=2p$.

[carlo232]

"Crook":$1/n+1/m=(n+m)/(nm)=1/p$. Dunque $(mn)/(n+m)=p$; sviluppando, si ottiene $m=(np)/(n-p)$. E' chiaro che $n-p$ deve dividere $p$, perché altrimenti si avrebbe $(n-p)|n$, cioè $n/(n-p)=k => n(q-1)=p$, assurdo. Dunque $(n-p)|p=>n=2p$, e si vede che anche $m=2p$.

Eppure $1/(p(p+1))+1/(p+1)=1/p$...

[carlo232]

"Aethelmyth":Preso un primo $p$, trovare tutte le coppie ordinate $(n,m)$ di interi positivi che verifichino la seguente condizione:
$1/n+1/m=1/p$

Vabbè... si trasforma il tutto in $nm-p(n+m)=0$ oppure $(n-p)(m-p)-p^2=0$ cioè $(n-p)(m-p)=p^2$ per cui se $p^2|n$ allora $m-p=1$ e ovviamente $n=p^2$, tale considerazione vale anche invertendo $n,m$. Infine se $p|n$ e $p|m$ allora $n-p=m-p=p$.

[TomSawyer1]

Avevo dato per scontato che $p|n, p|m$. E ora sono arrivato in ritardo, stranamente .

[Aethelmyth]

"carlo23":[quote="Aethelmyth"]Preso un primo $p$, trovare tutte le coppie ordinate $(n,m)$ di interi positivi che verifichino la seguente condizione:
$1/n+1/m=1/p$

Vabbè... si trasforma il tutto in $nm-p(n+m)=0$ oppure $(n-p)(m-p)-p^2=0$ cioè $(n-p)(m-p)=p^2$ per cui se $p^2|n$ allora $m-p=1$ e ovviamente $n=p^2$, tale considerazione vale anche invertendo $n,m$. Infine se $p|n$ e $p|m$ allora $n-p=m-p=p$.[/quote]
Perchè se $p^2|n$ allora $m-p=1$ e ovviamente $n=p^2$?