Coordinate intere

[xXStephXx]

Dati 9 punti a coordinate intere nello spazio, dimostrare che ne esistono almeno 2 per i quali il punto medio del segmento che li congiunge è anch'esso a coordinate intere.

[Pappappero1]

Il punto medio tra due punti $p=(x_1,y_1,z_1)$ e $q=(x_2,y_2,z_2)$ è dato da $m=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac {y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$. Affinché il punto medio sia a coordinate intere è necessario che i due punti le coordinate siano dello stesso tipo "pari/dipari".

In particolare, su tre coordinate, ci sono 8 possibili combinazioni di coordinate pari/dispari. Il nono punto deve per forza avere lo stesso tipo pari/dipari di uno degli altri otto, e perciò il punto medio tra il nono punto e quello con il suo stesso tipo pari/dispari avrà coordinate intere.

Ammesso che sia comprensibile cosa intendo per tipo pari/dispari, dovremmo essere se non altro vicini alla soluzione.

[xXStephXx]

Sisi va bene come dimostrazione Magari puoi scrivere che le coordinate devono avere la stessa parità, ma credo si capisca bene anche così.

[Gi81]

Rilancio con la seguente richiesta:

fissato $n in NN$, qual è il numero minimo di punti distinti in $RR^n$, tutti a coordinate intere,
tali che certamente esistono almeno due di questi punti con punto medio a coordinate tutte intere?

edit: ho notato che c'era un errore. ho corretto. chiedo scusa a Freddy Kruger

[Pappappero1]

ragionando come prima dovrebbero essere $2^n +1$.

[FreddyKruger]

In realtà io non so cos'è $R^{n}$, prima avevo interpretato in un certo modo ma poi avevo cancellato il messaggio perchè ero piuttosto sicuro di aver sbagliato,ne approfitto per chiedere....cos'è esattamente $R^{n}$? (so anche che qui non l'ho scritto bene )

[albertobosia]

\(\mathbb R\) è la retta dei numeri reali
\(\mathbb R^2\) è il piano dei punti a \(2\) coordinate reali \((x,y)\)
\(\mathbb R^3\) è lo spazio dei punti a \(3\) coordinate reali \((x,y,z)\)
\(\mathbb R^4\) è lo spazio dei punti a \(4\) coordinate reali \((x,y,z,w)\)
...
\(\mathbb R^n\) è lo spazio dei punti a \(n\) coordinate reali \((x_0,x_1,...,x_n)\)

diventano un po' difficili da visualizzare, ma il concetto è sempre quello