Contenitori

[axpgn]

Un mercante di vino possedeva cinque grandi contenitori perfettamente cubici, il cui spigolo misurava $108$ pollici.
Un giorno arrivò un carico composto da $15$ contenitori pieni, più piccoli ma perfettamente cubici anch'essi.
Egli poté riempire esattamente i suoi cinque serbatoi travasando in ciascuno di essi l'intero contenuto di tre dei contenitori più piccoli, opportunamente scelti ogni volta.
Sapendo che i contenitori più piccoli sono tutti di misura diversa (tranne due che sono uguali), quali sono le loro dimensioni, che sono numeri interi se espresse in pollici, ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$ 96, 72, 104, 51, 89, 82, 106, 38, 24, 13, 90, 72, 54, 12, 15 $
a mano sono riuscito a trovare solo due terne, quelle con il 72, poi ho dovuto farmi aiutare da GeoGebra. Esiste un procedimento trattabile senza computer?
Per la serie Pubblicità Progresso, in OT l'input e l'output di GeoGebra
[ot]Alex:radicen((1259712-TieniSe(TestIntero(radicen(1259712-c,3)),c,unisci(Successione(Successione(a³ + b³, b, a+1, 107), a,1, 106)))),3)
Alex = {96, 72, 104, 51, 89, 82, 106, 38, 24, 13, 90, 72, 54, 12, -40, -9, 15}[/ot]

Ciao

[axpgn]

[veciorik]

Spero che sia gradito quanto segue.

Mauro Fiorentini ha pubblicato un articolo intitolato cubi che, alla voce "Minimo cubo esprimibile come somma di 3 cubi in almeno n modi", riporta le soluzioni per n=5.

In WolframMathWorld c'è un trattato sulle Diophantine Equation 3rd Powers

Fred Richman della Florida Atlantic University ha un generatore cubes basato su una formula di Ramanujan

Con WolframAlpha ottengo le soluzioni scrivendo [size=104][tt]solve x^3+y^3+z^3=108^3 , 0

[orsoulx]

Grazie Rik, come al solito, preciso ed esaustivo. Trovo i link che hai postato molto interessanti e vedrò di approfondire i contenuti. Ho qualche riserva su quello a WolframAlpha. Usandolo si risolve il problema, ma, secondo me, svanisce tutto il divertimento.
O, meglio, ci si riduce a verificare che la risposta sia corretta.
Questione di gusti: io sono un giocherellone e son contento quando riesco a risolvere un problema a mente. Ogni altro strumento, a cominciare dalla matita, riduce il divertimento. Questa volta sono stato costretto a ricorrere a GeoGebra (per me è l'ultima spiaggia) ed allora cerco la maniera di ottenere quel che desidero con una sola espressione. Se mi togli anche questo, preferisco aspettare la soluzione 'ufficiale' di Alex.
Ciao e ancora grazie

[veciorik]

Le macchine sono indispensabili nel lavoro perché danno soluzioni certe e rapide, sapendole usare.
Nei giochi, in mancanza di altro, le uso per esaminare i problemi e stimolare la mente.
Mi gratifica saperle usare efficacemente, è stata la mia professione per 30 anni, ma la ruggine avanza.
Idem per i manuali: ok per imparare, no per copiare beceramente.
Evito le soluzioni complesse, per obnubilamento progressivo e calo delle motivazioni, ma mi piace cercare se qualcuno ne ha trovate e comprenderne la logica sottostante, almeno a grandi linee.

Tornando al quiz, temevo che non esistesse una via facile e ne ho avuto conferma.
Però ho trovato tre terne esplorando i divisori di 108 in modo naif, con molta fortuna:

$(108/18=6)^3=3^3+4^3+5^3 \ \rightarrow \ 54 \ ; \ 72 \ ; \ 90 $

$(108/12=9)^3=1^3+6^3+8^3 \ \rightarrow \ 12 \ ; \ 72 \ ; \ 96 $

$(108/2=54)^3=12^3 + 19^3 + 53^3 \ \rightarrow \ 24 \ ; \ 38 \ ; \ 106 $

Scritta l'equazione nella forma

$ \qquad N^3-z^3 \ = \ x^3+y^3 \ = \ (x+y) \ [x^2-xy+y^2] \ = \ (x+y) \ [(x+y)^2-3xy] \ = \ \sigma [\sigma^2 - 3 \pi]$

a naso tento $ \ z=N-1 \ $ ed esamino i divisori per trovare $ \ \sigma \ $ e $ \ \pi \ $:

$ \qquad 6^3-5^3=91=7*13 \qquad \rightarrow \qquad 7= \sigma \quad ; \quad \pi=(7^2-13)/3 =12 \qquad \rightarrow \qquad x=3 \ , \ y=4$

$ \qquad 9^3-8^3=217=7*31 \qquad \rightarrow \qquad 7= \sigma \quad ; \quad \pi=(7^2-31)/3=6 \qquad \rightarrow \qquad x=1 \ , \ y=6$

$ \ 54^3-53^3=8587=31*277 \ \rightarrow \ 31= \sigma \quad ; \quad \pi=(31^2-277)/3=228 \qquad \rightarrow \qquad x=12 \ , \ y=19$

[orsoulx]

"veciorik":ho trovato tre terne esplorando i divisori di 108 in modo naif, con molta fortuna

Beh! Io ho trovate solo le prima due; procedendo al contrario. Cercando, cioè, terne di valori piccolini e controllando se, per caso, restituivano il cubo di un divisore di $ 108$.
Ciao