Cono e probabilità

[mircoFN1]

Chi lo risolve?

Data una superficie a forma di cono circolare retto con raggio di base $R$ e altezza $R\sqrt3$, determinare la probabilità che presi a caso due suoi punti, la loro distanza, definita come lunghezza del percorso più breve sulla superficie, sia inferiore a $R$.


Buon divertimento!

[MaMo2]

Io ho trovato una probabilità del 37,894%.

[son Goku1]

MaMo, perchè non posti anche la dimostrazione, del risultato ce ne facciamo, tipo carta igienica

[MaMo2]

"GuillaumedeL'Hopital":MaMo, perchè non posti anche la dimostrazione, del risultato ce ne facciamo, tipo carta igienica

La mia dimostrazione è lunga e abbastanza complessa. Prima di postarla vorrei una conferma da Mirco59.

[son Goku1]

potrebbe essere che mirco non ce l'abbia una dimostrazione e ha postato il problema proprio per questo.
anche nel caso della sfera la tua dim. era complessa e non vuoi postarla per questo?

p.s.:non devi mica postarla per forza tutta, anche un'idea, uno sprazzo di dimostrazione

[MaMo2]

"GuillaumedeL'Hopital":
.....
p.s.:non devi mica postarla per forza tutta, anche un'idea, uno sprazzo di dimostrazione

Ecco la mia idea.
Poniamo R = 1 e indichiamo con x la distanza del primo punto (A) dal vertice (O) del cono.
Tagliando la superficie conica lungo l'apotema opposto a quello contenente il punto A si ottiene un semicerchio di raggio 2 con il centro posto in O. La probabilità che il punto A disti x da O è proporzionale a x....
Affinchè la distanza AB sia minore di 1 il punto B deve cadere all'interno del cerchio di centro A e raggio 1. Per trovare questa probabilità (cioè l'area formata dall'intersezione dei due cerchi) ho impostato degli integrali.
Fatto questo il procedimento diventa simile al problema proposto da Piera...

[son Goku1]

"MaMo":[...]Fatto questo il procedimento diventa simile al problema proposto da Piera...

che è sbagliato (il tuo), sei stato veramente chiaro MaMo

[mircoFN1]

[quote="MaMo]
Ecco la mia idea.
Poniamo R = 1 e indichiamo con x la distanza del primo punto (A) dal vertice (O) del cono.
Tagliando la superficie conica lungo l'apotema opposto a quello contenente il punto A si ottiene un semicerchio di raggio 2 con il centro posto in O. La probabilità che il punto A disti x da O è proporzionale a x....
quote]

Come hai trovato il coefficiete di proporzionalità?

ciao

[MaMo2]

"mirco59":
....
Come hai trovato il coefficiete di proporzionalità?

ciao

Deve essere:
$k*int_0^2xdx=1 => k=1/2$.

[mircoFN1]

intedevo la funzione da moltiplicare dentro l'integrale per ottenere la probabilità definitiva ....

In effetti io avrei trovato 0.26729 ma non sono sicuro.


Ciao

[MaMo2]

"mirco59":intedevo la funzione da moltiplicare dentro l'integrale per ottenere la probabilità definitiva ....

In effetti io avrei trovato 0.26729 ma non sono sicuro.

Ciao

La funzione che esprime il rapporto tra l'area del cerchio di raggio 1 e l'area del semicerchio varia in funzione della distanza x. Per $0<=x<=1$ io ho trovato (con derive):

$(xsqrt(1-x^2)+acos(-x))/(2*pi)$

Per $<=1x<=2$ ho ottenuto:

$(5*pi-sqrt(-x^4+10x^2-9)-8asin((3+x^2)/(4x))+2asin((3-x^2)/(2x)))/(4*pi)$

P.s. Il tuo risultato mi sembra un po' basso.
Infatti per x = 0 l'area coperta dal cerchio è 1/4 di quella del semicerchio, per x = 1 essa è 1/2 e per x = 2 diventa poco meno di 1/4.

[mircoFN1]

Ho trovato un errore di segno nel calcolo delle aree, confermo il tuo risultato 0.37894

Grazie molte.