Congresso scientifico
Un piccolo congresso scientifico conta 30 partecipanti, provenienti da 6 città, 5 per città. La sala da pranzo della sede del convegno dispone di 6 tavoli da 5 posti. Gli organizzatori, per favorire la conoscenza reciproca dei partecipanti, vogliono disporli in modo che in nessun tavolo siano presenti due scienziati provenienti dalla stessa città. In quanti modi è
possibile disporre i partecipanti nei 6 tavoli?
Nota: considera i tavoli come distinti, ma considera uguali due disposizioni
con gli stessi gruppi nei 6 tavoli (in altre parole, ignora l’ordine in
cui i commensali sono seduti allo stesso tavolo). E' più che sufficiente
indicare il risultato come prodotto di potenze.
possibile disporre i partecipanti nei 6 tavoli?
Nota: considera i tavoli come distinti, ma considera uguali due disposizioni
con gli stessi gruppi nei 6 tavoli (in altre parole, ignora l’ordine in
cui i commensali sono seduti allo stesso tavolo). E' più che sufficiente
indicare il risultato come prodotto di potenze.
Prendo un tavolo qualunque: per ogni suo posto ho $5^5$ possibilità di scegliere il mio rappresentante di ciascuna città. Inoltre lo posso mettere in 6 zone a mia scelta. Risposte
Il primo scienziato della città A può scegliere fra 6 tavoli (ordinati), il secondo fra 5 e così via, per un totale di $6!$ modi. Analogamente per le altre città, quindi direi
$(6!)^5$
no?
$(6!)^5$
no?
Ciao.
Secondo me il risultato è diverso.
Ad esempio nel primo tavolo il primo scienziato posso sceglierlo tra 30; il secondo tra 25; il terzo tra 20; il quarto tra 15 ed il quinto tra 10.
30 x 25 x 20 x 15 x 10 = 2.250.000 disposizioni che : 120 = 18.750 combinazioni.
Per il secondo tavolo: 25 x 20 x 16 x 12 x 8 = 768.000 : 120 = 6.400.
Per il terzo tavolo: 20 x 16 x 12 x 9 x 6 = 207.360 : 120 = 1.728.
Per il quarto tavolo: 15 x 12 x 9 x 6 x 4 = 38.880 : 120 = 324
Per il quinto tavolo: 10 x 8 x 6 x 4 x 2 = 3840 : 120 = 32
Per il sesto tavolo: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 : 120 = 1
Moltiplicando tra loro questi fattori e moltiplicandoli per 720 (disposizioni dei 6 tavoli) viene fuori questo:
18.750 x 6.400 x 1.728 x 324 x 32 x 1 x 720.
Non so se si può esprimere con una formula come da voi indicato.
Secondo me il risultato è diverso.
Ad esempio nel primo tavolo il primo scienziato posso sceglierlo tra 30; il secondo tra 25; il terzo tra 20; il quarto tra 15 ed il quinto tra 10.
30 x 25 x 20 x 15 x 10 = 2.250.000 disposizioni che : 120 = 18.750 combinazioni.
Per il secondo tavolo: 25 x 20 x 16 x 12 x 8 = 768.000 : 120 = 6.400.
Per il terzo tavolo: 20 x 16 x 12 x 9 x 6 = 207.360 : 120 = 1.728.
Per il quarto tavolo: 15 x 12 x 9 x 6 x 4 = 38.880 : 120 = 324
Per il quinto tavolo: 10 x 8 x 6 x 4 x 2 = 3840 : 120 = 32
Per il sesto tavolo: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 : 120 = 1
Moltiplicando tra loro questi fattori e moltiplicandoli per 720 (disposizioni dei 6 tavoli) viene fuori questo:
18.750 x 6.400 x 1.728 x 324 x 32 x 1 x 720.
Non so se si può esprimere con una formula come da voi indicato.
Hmm non mi convince un granché... per esempio, potresti spiegarmi il passaggio che ti porta a calcolare $25*20*16*12*8$ modi di scelta per il secondo tavolo? In base a quale ragionamento, fra 25 scienziati, scegli "proprio" quello di cui sono rimasti 5 rappresentanti? Oppure ho capito male?
[ A questo punto scommetto un fagiolo sulla mia soluzione.
]
[ A questo punto scommetto un fagiolo sulla mia soluzione.
]
Propongo la mia soluzione.
Per prima cosa ad ogni tavolo associo una città mancante, ovvero l'unica città di cui nessun rappresentante è seduto al tavolo. Questa scelta può essere fatta in $6!$ modi diversi.
A questo punto ogni città vede 5 tavoli, per cui il primo rappresentante potrà scegliere tra 5 tavoli, il secondo tra 4 e così via. Questo vale per ogni città, indipendentemente dalle altre.
Dunque il numero di modi possibili è $6! (5!)^6$.
Questo non funziona per 2 motivi:
1) il primo dell'ultimo gruppo non potrà scegliere tra 6 tavoli, perchè i posti a disposizione rimasti saranno solo 5;
2) le scelte precedenti vanno a determinare quale sarà il tavolo già pieno quando decide il il primo dell'ultimo gruppo.
Anche a me non convince per lo stesso motivo.
Per prima cosa ad ogni tavolo associo una città mancante, ovvero l'unica città di cui nessun rappresentante è seduto al tavolo. Questa scelta può essere fatta in $6!$ modi diversi.
A questo punto ogni città vede 5 tavoli, per cui il primo rappresentante potrà scegliere tra 5 tavoli, il secondo tra 4 e così via. Questo vale per ogni città, indipendentemente dalle altre.
Dunque il numero di modi possibili è $6! (5!)^6$.
"Rggb":
Il primo scienziato della città A può scegliere fra 6 tavoli (ordinati), il secondo fra 5 e così via, per un totale di $6!$ modi. Analogamente per le altre città, quindi direi
$(6!)^5$
no?
Questo non funziona per 2 motivi:
1) il primo dell'ultimo gruppo non potrà scegliere tra 6 tavoli, perchè i posti a disposizione rimasti saranno solo 5;
2) le scelte precedenti vanno a determinare quale sarà il tavolo già pieno quando decide il il primo dell'ultimo gruppo.
"Rggb":
Hmm non mi convince un granché... per esempio, potresti spiegarmi il passaggio che ti porta a calcolare $25*20*16*12*8$ modi di scelta per il secondo tavolo? In base a quale ragionamento, fra 25 scienziati, scegli "proprio" quello di cui sono rimasti 5 rappresentanti? Oppure ho capito male?
Anche a me non convince per lo stesso motivo.
Ops! Hai proprio ragione, mi ero proprio scordato che c'erano città mancanti, grazie mille.
Ciao.
Se sviluppate il mio risultato, è assolutamente uguale a quello di robbstark. Tranne il fatto che in quest'ultimo non vi è traccia dell'ulteriore moltiplicazione per 720 ovvero 6 fattoriale, relativo alla disposizione dei tavoli.
Provare per credere!
Saluti.
Se sviluppate il mio risultato, è assolutamente uguale a quello di robbstark. Tranne il fatto che in quest'ultimo non vi è traccia dell'ulteriore moltiplicazione per 720 ovvero 6 fattoriale, relativo alla disposizione dei tavoli.
Provare per credere!
Saluti.
Un'altra precisazione.
Fra i 25 scienziati devo scegliere uno di quelli cui sono rimasti 5 rappresentanti.
I tavoli sono 6.
Il primo è completo.
Ne restano 5.
I rappresentanti rimasti di quella città sono 5.
Sono obbligato a metterne uno per tavolo.
Fra i 25 scienziati devo scegliere uno di quelli cui sono rimasti 5 rappresentanti.
I tavoli sono 6.
Il primo è completo.
Ne restano 5.
I rappresentanti rimasti di quella città sono 5.
Sono obbligato a metterne uno per tavolo.
"robbstark":
Dunque il numero di modi possibili è $6! (5!)^6$.
Mi torna.
"robbstark":
[quote="Rggb"]$(6!)^5$
no?
Questo non funziona per 2 motivi[/quote]
Per 3 motivi, mi sono anche scordato un esponente.
Comunque potrei anche rimediare, contando i modi di fare i gruppi, ma il tuo ragionamento è molto più semplice."superpippone":
Se sviluppate il mio risultato, è assolutamente uguale a quello di robbstark. Tranne il fatto che in quest'ultimo non vi è traccia dell'ulteriore moltiplicazione per 720 ovvero 6 fattoriale, relativo alla disposizione dei tavoli.
Secondo me il risultato di robbstark è corretto. Perché dovrei moltiplicarlo per $6!$?
Ciao.
Perchè quelli sono i diversi tavoli possibili.
Visto che conta anche la disposizione dei tavoli, devo moltiplicare ancora per 720.
Ma adesso mi stò "perdendo" e non sono più sicurissimo di ciò.
Perchè quelli sono i diversi tavoli possibili.
Visto che conta anche la disposizione dei tavoli, devo moltiplicare ancora per 720.
Ma adesso mi stò "perdendo" e non sono più sicurissimo di ciò.
Consideriamo ognuno dei 5 scienziati delle 6 città. Il primo scienziato della prima città può essere posizionato in 5 possibili tavoli, il secondo in 4, il terzo in 3, il quarto in 2, e l'ultimo per forza in uno. Allo stesso modo per ognuno dei 5 scienziati di ognuna delle altre 5 città. Perciò il risultato è $(5!)^6$
attento perchè i tavoli sono 6 da 5 posti, non 5 da 6 posti... io mi trovo esattamente con la soluzione e il ragionamento di robbstark 
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