Condizione di non singolarità di un polinomio

[SpinoWeb]

Salve a tutti, sono nuovo e vi posto questo quesito, probabilmente semplice per voi, ma complicatissimo per me.

Ho una funzione f(x)=P(x)/Q(x), con P(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3 e Q(x)=E+Fx+Gx^2
Per determinare i coefficienti della f(x) ho imposto 6 condizioni in base a quello che mi serviva, adesso devo imporne una settima. Quest'ultima deve essere tale da garantirmi che la funzione non presenti singolarità (ossia che Q(x) non si annulli) nell'intervallo chiuso [0,Xu] con Xu > 0. Come si esprime analiticamente quest'ultima condizione? Io ci ho provato, ma non riesco a venirne a capo

[Camillo]

Se tu volessi che il trinomio del denominatore non si annullasse mai, per nessun valore di x , allora basterebbe imporre
che il discriminante del trinomio sia < 0 , cioè :
F^2-4EG < 0 : il trinomio avrebbe sempre il segno del coefficiente G e non si annullerebbe mai .
Però la tua domanda mi sembra più sottile : non vuoi che il trinomio si annulli per nessun valore compreso tra 0 e Xu , con Xu > 0
( esatto ? ).

Camillo

[SpinoWeb]

quote:

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Originally posted by camillo

Se tu volessi che il trinomio del denominatore non si annullasse mai, per nessun valore di x , allora basterebbe imporre
che il discriminante del trinomio sia < 0 , cioè :
F^2-4EG < 0 : il trinomio avrebbe sempre il segno del coefficiente G e non si annullerebbe mai .
Però la tua domanda mi sembra più sottile : non vuoi che il trinomio si annulli per nessun valore compreso tra 0 e Xu , con Xu > 0
( esatto ? ).

Camillo

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esattamente!
Per essere più esaustivo vi posto le altre sei condizioni che impongo:
- f(0)=0
- df(0)/dx=alfa
- f(X0)=K0
- df(1)/dx=beta
- f(Xu)=Ku
- df(Xu)/dx=gamma

dove alfa, beta, gamma, X0, Xu, K0 e Ku sono quantità note a priori.

La settima condizione che cerco dovrebbe (e ripeto dovrebbe) avere una forma analitica tipo quelle finora imposte

[Camillo]

Per la settima condizione va allora posto che le due soluzioni dell'equazione : Gx^2+Fx+E =0 siano esterne all'intervallo : (0, Xu).
Bisogna allora prima imporre che le soluzioni esistano e quindi il discriminante sia > 0 ; perciò :
F^2-4EG > 0 .
Poi, chiamando x1 la radice minore e x2 la radice maggiore dell'equazione si impone :
x1 < 0
x2 > Xu che unita alla disequazione forma un sistema di 3 disequazioni .
La soluzione di questo sistema dà una delle soluzioni cercate( radice minore negativa e radice maggiore > Xu).

Altre soluzioni vengono da questo sistema di disequazioni :
(x1 < 0
)x2 < 0
(F^2-4EG > 0 ( entrambe le radici negative)

e infine da questo ultimo sistema (entrambe le radici > Xu):

( x1 > Xu
) x2 > Xu
( F^2-4EG > 0



Camillo

[SpinoWeb]

Intanto grazie per l'aiuto.
Stavo notando che in queste disequazioni entrano tre parametri: E, F e G. Per cui le disequazioni vanno studiate su questi coefficienti, un pò "camurriusu" [:(]

[Camillo]

In effetti l'affare diventa un po' complesso!!
Ma che tipo di problema impone queste condizioni ?
Camillo

[SpinoWeb]

devo modellare una curva come quella in figura; le sei condizioni che ho postato vengono da considerazioni prettamente fisiche, ma ovviamente non posso avere punti di discontinuità nell'intervallo di esistenza della curva. Se risolvo il sistema imponendo E = 1, ottengo ottimi risultati, ma purtroppo si possono verificare dei casi in cui ho singolarità e questo rende il modello inutilizzabile.