Come cominciare?

[NewJet]

salve a tutti! vorrei sapere come cominciare a entrare nel problem solving! ho già un libro, diciamo più che un libro è una raccolta di esercizi delle vecchie olimpiadi... il problema è che non so come risolverli!
se non leggo nelle soluzioni io non so qual è la cifra delle unità di \(\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 +...1996^2 \)
e ce ne sono anche alcuni senza le opzioni...
un aiutino?

[theras]

Ciao,e benvenuto/a in questo forum!
Sarò breve il più possibile,
e ti dico che il problem solving,a mio avviso e per la mia poca esperienza in merito,non è una scienza esatta,
ma un'attitudine che può essere sviluppata e rafforzata con l'esperienza:
quest'ultima,man mano,permette di crearsi un proprio personalissimo,e vasto,
archetipo di stategie d'approccio ai problemi,
che però si dev'esser pronti a mandare all'aria in qualunque momento perchè,in esso,
gioca un ruolo decisivo sopratutto il cosidetto "pensiero laterale"!
Insomma..ti tocca impazzire un pò:
inizia dal problema che hai postato,
e facci sapere intanto se t'è chiaro come,e perchè,
senza andare troppo lontano
(per il momento,perchè t'avvedrai che tra i mezzi di quell'archetipo hanno un certo peso le "congruenze in modulo"..)
l'ultima cifra di quella somma è la stessa di $5*199+1^2+2^2+cdots+6^2$
(ovvero 6,se ho fatto bene i conticini).
Saluti dal web.

[vittorino70]

Un approccio ultraelementare del quesito può consistere nell'applicare la "nota formula" della somma dei quadrati dei primi n interi:
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+....+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Nel nostro caso risulta n=1996 e quindi la somma richiesta è =\(\displaystyle \frac{1996(1997)(3993)}{6} =998\cdot1997\cdot1331\)
Da qui ,anche moltiplicando solo le ultime cifre ,si conclude che l'ultima cifra della somma è 6.Come egregiamente anticipato da Theras...

[theras]

Ciao,Vittorio!
Quella formula,come molte altre che si dimostrano per induzione,ha pregi e difetti la cui somma m'ha portato a scartane l'utilizzo in questo contesto
(a me interessava far arrivare il ragazzo alla risposta attraverso un procedimento "elementare",
tipo quello della leggenda del piccolo Gauss che calcola 1+2+...+49+50=S passando,
precocemente direzionato dal pensiero laterale,dal sommarlo a S=50+49+...+2+1,
e dividendo infine entrambi i membri di S+S=(50+1)+(49+2)+..(2+49)+(1+50) per 2..):
è molto "compatta"(pro..),
ma se non la si conosce è alquanto ardua da intuire nella (contro grave,a mio modo di vedere..)sebbene,
una volta superato questo problema non da poco,quasi immediata da dimostrare grazie al su citato principio(pro..)!
Saluti dal web.

[vittorino70]

Una mia ( probabilmente !) sbagliatissima idea: se non si conosce quella formula ( e diverse altre ) è meglio rinunziare ...

[xXStephXx]

Ricordo che quelle formule sono state le prime che ho imparato quando ho cominciato a fare i problemi delle olimpiadi (e non sapevo praticamente nulla! ahah). Tre annetti fa, quando provavo a risolvere qualche problema dei giochi di archimede ricordo che mi sembravano mostruosi quei conti Poi guardavo le soluzioni e trovavo che venivano applicate quelle formulette, che mi son subito andato a guardare.. In realtà la tecnica dell'induzione l'ho imparata solo l'anno scorso, quindi per molto tempo erano cose che usavo mnemonicamente. Comunque non sono d'accordo sul fatto che non conoscendo quelle formule è meglio rinunciare.. Qua non sono manco necessarie.. In fondo, notando che ci sono delle cifre che si ripetono 2000 volte, il problema si riduce a....

[vittorino70]

Si parla di formule elementari...E' come se uno volesse trovare le radici di un'equazione di secondo grado senza conoscere la relativa formula risolutiva .Lo può anche fare ( e se è un Gauss in erba ci mette anche poco !) ma il fattore tempo conta.Supponiamo che si chieda di trovare l'ultima cifra della somma :
\(\displaystyle 1^3+2^3+3^3+....+n^3 \)
con n noto e piuttosto grande.
Quanto tempo ci metterebbe uno che ricercasse una qualche regolarità o uno che lavorasse con i moduli ? E quanto ne impiegherebbe invece uno che sapesse che la somma dei cubi dei primi n numeri interi è : \(\displaystyle \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \) ?

[xXStephXx]

Di solito non affronto problemi che vanno troppo oltre le mie capacità (e in quei casi me ne accorgo subito di non essere in grado)... Però se un problema mi sembra fattibile cerco sempre di affrontarlo anche se non conosco bene la teoria a riguardo.. E poi capita spesso di complicarsi la vita impiegando tanto tempo per risolvere un problema che con qualche conoscenza in più risulterebbe più facile.. Vedesi i problemi di massimo e minimo risolti sfruttando le disuguaglianze anzichè le nozioni di analisi. Oppure ostinarsi a risolvere un problema di geometria usando solo geometria sintetica e cercando di ricorrere il meno possibile alla trigonometria. Però impiegare più tempo, senza sapere che esistono modi migliori, dà sempre più soddisfazione.

[NewJet]

Intanto grazie mille a tutti per le risposte
Ma quindi, in caso dovessi scegliere la "via delle formule", dove le potrei pescare?
E se invece il ragionamento... come potrei procedere?

[gugo82]

"vittorino70":Una mia ( probabilmente !) sbagliatissima idea: se non si conosce quella formula ( e diverse altre ) è meglio rinunziare ...

Falsissimo.

Una delle idee alla base dei problemi delle olimpiadi è: se mi fanno una domanda, la risposta deve essere accessibile senza conoscere troppe formule (magari in un modo complicato... Ma poi si capisce che le idee di fondo son sempre le stesse!).

In particolare, vogliamo calcolare la cifra delle unità del numero:
\[
1^2+2^2+3^2+\cdots + 1995^2 +1996^2\; .
\]
Innanzitutto, si deve notare che le unità di una somma sono completamente determinate a partire dalle unità degli addendi, nel senso che la cifra delle unità di somma si ottengono prendendo l'equivalente modulo \(10\) della somma delle unità degli addendi.
Ad esempio, se abbiamo \(13+15+17+19\), la cifra delle unità si ottiene come segue:

[*:p1w3an7b] si calcola la somma delle unità degli addendi: \(3+5+7+9=24\);[/*:m:p1w3an7b]
[*:p1w3an7b] si calcola l'equivalente modulo \(10\) di \(24\): dato che \(24=20+4\) e \(20\) è multiplo di \(10\), si ha \(24 \equiv 4 \mod 10\);[/*:m:p1w3an7b]
[*:p1w3an7b] si conclude che la cifra delle unità di \(13+15+17+19\) è \(4\).[/*:m:p1w3an7b][/list:u:p1w3an7b]
Quindi si cerca di applicare questa proprietà al problema.

Per applicare la proprietà al problema, dovremmo conoscere la cifra delle unita di tutti i numeri \(1^2\), \(2^2\), \(3^3\), ..., \(1995^2\), \(1996^2\).
Questi numeri sono troppi, quindi deve esserci una scorciatoia (perchè non è possibile che un problema del genere sia così contoso, altrimenti non l'avrebbero messo).
La scorciatoia è la seguente: anche la cifra delle unità di un prodotto è completamente determinata dalla cifra delle unità dei suoi fattori, nel senso che la cifra delle unità di un prodotto è l'equivalente modulo \(10\) del prodotto delle cifre delle unità dei fattori.
Ad esempio, se abbiamo \(13\cdot 15\cdot 17\cdot 19\), la cifra delle unità si ottiene come segue:

[*:p1w3an7b] si calcola il prodotto delle unità degli addendi: \(3\cdot 5\cdot 7\cdot 9 = 945\);[/*:m:p1w3an7b]
[*:p1w3an7b] si calcola l'equivalente modulo \(10\) di \(945\): dato che \(945=940+5\) e \(940\) è multiplo di \(10\), si ha \(945 \equiv 5 \mod 10\);[/*:m:p1w3an7b]
[*:p1w3an7b] si conclude che la cifra delle unità di \(13+15+17+19\) è \(5\).[/*:m:p1w3an7b][/list:u:p1w3an7b]
Quindi si cerca di applicare anche questa proprietà al problema.

Per quanto appena detto, possiamo fare la seguente tabella:
\[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 0\\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow\\
1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 & 1 & 0
\end{matrix}
\]
che si deve leggere come segue: se un numero ha come cifra delle unità la cifra della prima riga, allora il suo quadrato ha come cifra delle unità la cifra corrispondente nella seconda riga.
Ad esempio, \(1994^2\) ha come cifra delle unità \(6\) (perché finisce con \(4\)), mentre \(573^2\) ha come cifra delle unità \(9\) (perchè finisce con \(3\)).
Ne consegue che la cifra delle unità della somma di dieci quadrati consecutivi è data dall'equivalente modulo \(10\) di \(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=25\), cioè \(5\).

Ora, dividiamo gli addendi della somma assegnata in gruppi di \(10\) addendi consecutivi:
\[
\begin{multline}
\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots +9^2+10^2}_{10 \text{ addendi}} \\
\shoveleft{+\underbrace{11^2+12^2+13^2+\cdots +19^2+20^2}_{10 \text{ addendi}}}\\
\shoveleft{+\cdots}\\
\shoveleft{+\underbrace{1981^2+1982^2+1983^2+\cdots +1989^2+1990^2}_{10 \text{ addendi}}}\\
\shoveleft{\color{maroon}{+\underbrace{1991^2+1992^2+1993^2+1994^2 +1995^2+1996^2}_{\text{ultimi } 6 \text{ addendi}}}}
\end{multline} \; ;
\]
la cifra delle unità della somma di ogni gruppo di \(10\) è \(5\), per quanto detto sopra, mentre la cifra delle unità del gruppo finale di sei addendi (quello in marrone) è l'equivalente modulo \(10\) di \(1+4+9+6+5+6=21\), cioè \(1\).

Quindi la cifra delle unità della nostra somma è completamente determinata dal numero di gruppi di dieci addendi consecutivi che possiamo formare coi nostri addendi... Perciò, per terminare l'esercizio, basta chiedersi: quanti gruppi di dieci addendi consecutivi si possono formare con \(1996\) numeri?
Come si insegna fin dalle elementari, il numero di gruppi che si possono formare è il quoziente della divisione di \(1996\) per \(10\), cioè \(199\).

Ne consegue che la cifra delle unità di \(1^2+2^2+\cdots +1995^2+1996^2\) è dato dall'equivalente modulo \(10\) del numero \(5\cdot 199 + 1\).
Si ha:
\[
5\cdot 199 +1 = 5\cdot (198 + 1)+1=5\cdot 198 + 6= 10\cdot 99 + 6=996
\]
e si ha \(996\equiv 6 \mod 10\).

Pertanto la cifra delle unità di \(1^2+2^2+\cdots +1995^2+1996^2\) è \(6\).