Ciuff Ciuff
Rappresentiamo con un segmento di lunghezza unitaria una linea ferroviaria che collega due località A e B. Un viaggiatore sa che, se rimane sullo stesso treno per un tratto di lunghezza p, ha probabilità p di incontare un controllore. Essendo sprovvisto di biglietto, e dovendo andare da A a B, decide allora di non fare tutto il viaggio sullo stesso treno, ma di cambiare un numero opportuno di volte. In questo è favorito dall'avveniristica struttura della linea (si vede che non siamo in Italia!!): si può infatti salire o scendere dal treno in qualunque punto del percorso, e l'abbondanza di convogli (questo conferma la tesi che non siamo in Italia!!) permette a chi è sceso in un punto di trovare subito un altro treno per proseguire il viaggio.
Quale strategia conviene seguire al viaggiatore se vuole minimizzare la probabilità di pagare la multa?
Quale strategia conviene seguire al viaggiatore se vuole minimizzare la probabilità di pagare la multa?
Risposte
Sembra un problema bellissimo! 
Complimenti Piera!! Spero di aver tempo per pensarci.
Stranamente una vocina mi dice di scendere a metà percorso e prendere un'altro treno fino all'arrivo (per cui la probabilità di farla franca sarebbe 1/4 )
Che dici è un' intuizione che merita di essere approfondita? O è una delle mie solite allucinazioni? :
Complimenti Piera!! Spero di aver tempo per pensarci.
Stranamente una vocina mi dice di scendere a metà percorso e prendere un'altro treno fino all'arrivo (per cui la probabilità di farla franca sarebbe 1/4 )
Che dici è un' intuizione che merita di essere approfondita? O è una delle mie solite allucinazioni? :
Estrapolando e portando al limite il ragionamento di ottusangolo allora converrebbe stare su ogni treno un tempo tendente a 0 e cambiare treno infinite volte: così la probabilità di incontrare un controllore tende a 0 !
Ma dubito che sia corretto
Ma dubito che sia corretto
"Camillo":
Estrapolando e portando al limite il ragionamento di ottusangolo allora converrebbe stare su ogni treno un tempo tendente a 0 e cambiare treno infinite volte: così la probabilità di incontrare un controllore tende a 0 !
Ma dubito che sia corretto
Uhm... facendo due conti la probabilità di incontrare un controllore cambiando infinite volte mi esce $1-1/e$... magari però ho sbagliato qualcosa...
"ottusangolo":
Sembra un problema bellissimo!
Complimenti Piera!! Spero di aver tempo per pensarci.
Stranamente una vocina mi dice di scendere a metà percorso e prendere un'altro treno fino all'arrivo (per cui la probabilità di farla franca sarebbe 1/4 )
Che dici è un' intuizione che merita di essere approfondita? O è una delle mie solite allucinazioni? :
Sicuramente questa non è la soluzione giusta, poiché se ne trova facilmente una migliore: a un terzo del percorso cambiare treno e poi cambiare di nuovo a due terzi... la probabilità di svignarsela in questo caso è $8/27$ che è maggiore di $1/4$.
Se la probabilità P di incontrare un controllore è uguale alla distanza Q del tratto percorso, è ovvio che più basso è P (tratto percorso), più la probabilità Q, diminuisce. Ma diminuisce per quel singolo tratto. Il problema è come calcolare la probabilità totale, suddividendo il percorso da A a B, in tanti tratti da A a x, da x ad y .....
A mio modesto parere, se la probabilità totale è la somma di tutte le probabilità "parziali" dei singoli tratti, poichè P = Q, dovrebbe essere evidente che percorrere l'intero tratto da A a B , o suddividerlo in tanti piccoli tratti intermendi, non cambia la probabilità totale.
Al più, il povero viaggiatore faticherà un sacco a scendere e salire dai treni con le valigie, ma che scenda e risalga infinite volte, o percorra il tratto da A a B sullo stesso treno, la probabilità totale dovrebbbe essere identica (sempre che le singole probabilità si sommino).
Se, invece, la probabilità totale si ottiene con altri criteri, ad esempio è la "media" delle probabilità parziali, la scelta di portare a zero Q e P parrebbe la soluzione più logica.
O no?
A mio modesto parere, se la probabilità totale è la somma di tutte le probabilità "parziali" dei singoli tratti, poichè P = Q, dovrebbe essere evidente che percorrere l'intero tratto da A a B , o suddividerlo in tanti piccoli tratti intermendi, non cambia la probabilità totale.
Al più, il povero viaggiatore faticherà un sacco a scendere e salire dai treni con le valigie, ma che scenda e risalga infinite volte, o percorra il tratto da A a B sullo stesso treno, la probabilità totale dovrebbbe essere identica (sempre che le singole probabilità si sommino).
Se, invece, la probabilità totale si ottiene con altri criteri, ad esempio è la "media" delle probabilità parziali, la scelta di portare a zero Q e P parrebbe la soluzione più logica.
O no?
Camillo ha risposto correttamente:
si deve cambiare treno infinite volte,
ma come lo si può dimostrare?
Provare a massimizzare la probabilità di non pagare la multa suddividendo il percorso in n tratti.
Cosa viene fuori?
si deve cambiare treno infinite volte,
ma come lo si può dimostrare?
Provare a massimizzare la probabilità di non pagare la multa suddividendo il percorso in n tratti.
Cosa viene fuori?
"Piera":
Camillo ha risposto correttamente:
si deve cambiare treno infinite volte,
ma come lo si può dimostrare?
Provare a massimizzare la probabilità di non pagare la multa suddividendo il percorso in n tratti.
Cosa viene fuori?
$((n-1)/n)^n$ che passando al limite su $n$ viene $1/e$
Bene Kroldar, allora perchè conviene cambiare il treno infinite volte?
"Piera":
Bene Kroldar, allora perchè conviene cambiare il treno infinite volte?
Perché la successione che dà la probabilità di non trovare il controllore è strettamente monotona crescente al variare di $n$ in $NN$.
Perfetto Kroldar!
Mi permetto di riportare quella che in pratica è la tua soluzione in modo che la possano leggere tutti.
Suddiviso il percorso in n tratti di lunghezza $p_1,p_2,..p_n$, con $p_1+p_2+...+p_n=1$. La probabilità di farla franca nel k-esimo tratto è $q_k=1-p_k$; trattandosi di eventi indipendenti, la probabilità di non incontrare controllori sull'intero tragitto è pertanto $q_1*q_2*...*q_n$.
Poichè la somma dei fattori $q_1+q_2+...+q_n=n-1$ è costante, il prodotto è massimo quando tutti i fattori sono uguali: $q_1=q_2=...=q_n=(n-1)/n$.
Fissato n, la strategia migliore consiste quindi nel suddividere il percorso in tratti di lunghezza $1/n$, il che permette di non incontrare i controllori con probabilità $P_n=(1-1/n)^n$.
Essendo la successione trovata crescente, segue che più fermate si fanno e meglio è.
Dal punto di vista matematico, questo vuol dire che una strategia migliore di tutte non esiste.
Mi permetto di riportare quella che in pratica è la tua soluzione in modo che la possano leggere tutti.
Suddiviso il percorso in n tratti di lunghezza $p_1,p_2,..p_n$, con $p_1+p_2+...+p_n=1$. La probabilità di farla franca nel k-esimo tratto è $q_k=1-p_k$; trattandosi di eventi indipendenti, la probabilità di non incontrare controllori sull'intero tragitto è pertanto $q_1*q_2*...*q_n$.
Poichè la somma dei fattori $q_1+q_2+...+q_n=n-1$ è costante, il prodotto è massimo quando tutti i fattori sono uguali: $q_1=q_2=...=q_n=(n-1)/n$.
Fissato n, la strategia migliore consiste quindi nel suddividere il percorso in tratti di lunghezza $1/n$, il che permette di non incontrare i controllori con probabilità $P_n=(1-1/n)^n$.
Essendo la successione trovata crescente, segue che più fermate si fanno e meglio è.
Dal punto di vista matematico, questo vuol dire che una strategia migliore di tutte non esiste.
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