Circuito elettrico affollato

[Quinzio]

Su un piano sono disposti a caso 2011 punti. Ognuno di questi punti è collegato a tutti gli altri tramite una resistenza di valore R. Presi due punti qualunque A e B, qual è la resistenza tra A e B ?
Ovvero, se collego ad A e B un generatore di tensione V, che corrente scorre dal generatore ?

PS. Sono sufficienti conoscenze di base di elettronica

[ultraciva]

V/R

[Quinzio]

"ultraciva":V/R

mmm... non è corretto.
Forse non è chiarissimo il quesito.
Prendiamo il punto 1:
esso è collegato con un resistenza R al punto 2, con una R al punto 3, con R al 4, ....al 5., al 6..... ..... fino al punto 2011.

Il punto 2:
(era già stato collegato al punto 1 prima), è collegato con R al 3, con R al 4, al 5, al 6.......... cosi' via, fino al punto 2011

Il punto 3:
collegato con R al 4, al 5, al 6 cosi' via fino a 2011

Fino ad esaurire i punti.

[cenzo1]

Azzardo una risposta, ma non ne sono molto convinto..

$R_{eq}=1/(1/R+1/(2R)*2009)=(2R)/2011$

[cenzo1]

Riporto il mio ragionamento

Per arrivare alla risposta ho iniziato a risolvere il caso di un circuito con 3 punti e poi con 4 punti.
Ho notato, nel caso con 4 punti, che la corrente sul ramo CD, ovvero il ramo che non ha estremi in A o B, è zero.
Ho ipotizzato quindi che ciò potesse essere sempre vero, anche nel caso di $n$ punti ($n=2011$).
L'ipotesi è: la corrente è zero su tutti i rami $P_iP_j$ che non hanno un estremo in A oppure in B.
(non sono però riuscito a dimostrare questa ipotesi essere sempre vera in generale (*) )

Notato ciò il problema diventa semplice: eliminati tutti i suddetti rami ho un certo numero di resistenze in parallelo, quella che collega direttamente A e B (di resistenza R) e i 2009 pecorsi del tipo ACB, essendo C uno dei 2011-2 punti restanti del circuito, di resistenza 2R (sono due resistenze in serie). Ho applicato quindi la formula per trovare la resistenza equivalente nel caso di resistenze in parallelo.

(*) se qualcuno può dimostrare che ciò è vero in generale ne sarei felice

[bucarella]

anche io ho ragionato piu o meno come cenzo (diciamo un po peggio) ma cmq non sono proprio sicuro del risultato

[cenzo1]

Cerco di dimostrare il pezzo che mancava...

Cerco di dimostrare la congettura che la corrente è nulla in tutti i rami $jk$ con $j,k != A,B$

Ipotizzo che la congettura sia vera e dimostro che le equazioni di maglia e di nodo sono tutte soddisfatte, per cui ho trovato l'unica soluzione del circuito e la congettura è vera.

Fate riferimento alla figura seguente:




Maglia Ajk
$i_{Aj}+i_{jk}-i_{Ak}=0->i_{Aj}=i_{Ak}$, $forall j,k != A,B$

Maglia jkB
$i_{jk}+i_{kB}-i_{jB}=0->i_{jB}=i_{kB}$, $forall j,k != A,B$

Maglia jks ($j,k,s != A,B$)
E' soddisfatta per ipotesi ($0=0$)

Nodo j (si ricordi l'ipotesi)
$-i_{Aj}+i_{jB}=0->i_{Aj}=i_{jB}$

Maglia AjB (per il punto precedente)
$i_{Aj}+i_{jB}-i_{AB}=0->i_{AB}=i_{Aj}+i_{jB}=2*i_{Aj}$

A questo punto chiamo per sempicità $i_{Aj}=i_{jB}=i_{Ak}=i_{kB}=i$
E quindi $i_{AB}=2*i$

Nodo A
$i*(n-2)+2*i-i_{V}=0->i_{V}=n*i$

Maglia ABV
$i_{AB}*R=R_{eq}*i_{V}->R_{eq}=i_{AB}/i_{V}*R=(2*i)/(n*i)*R=(2R)/n=(2R)/2011$

Che ne pensate ?

[marmi1]

Concordo con il risultato,
direi semplicemente che la resistenza tra A e X
e tra X e B è la stessa per ogni X diverso da A e B.
Quindi ogni X si trova allo stesso potenziale e quindi non
scorre corrente tra due X qualsiasi.

In alternativa, per simmetria ogni punto diverso da A e B si trova
allo stesso potenziale.


Propongo un problema simile, a cui non ho trovato risposta:
sia data una griglia infinita di punti dati dalle coordinate intere (in x ed in y)
in un piano cartesiano.
Ogni punto sia connesso con 4 resistenze uguali di valore R con i quattro
punti ad est, ovest, sud e nord.

Quanto vale la resistenza tra due punti a "mossa di cavallo" , ad esempio
tra O (0,0) e A (1,2)?


Ciao,
Andrea