Circonferenza che si ingrandisce

[paolo9993]

C e' una Una che misura 1cm, su C giace un punto mobile A che viaggia su C alls velocita' costante di 1cm/secondo. Ma nel momento stesso in cui A comincia a muoversi C comincia ad aumentare alla velocità di10 cm/sec. ,A completera' il giro completo della circonferenza?

[Thomas16]

per chiarezza: il modulo della velocità della coccinella non è costante, vero?

bellino cmq, mi ricorda gli esercizi di fisica 1... che nostalgia

[paolo9993]

Si', la velocità della coccinella e' costante(io l',ho chiamato punto mobile A ma l'importante e'intendersi). Anche la velocità di espansione della circonferenza e' sempre costante(10volte la velocita' del punto A)

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Non so se ho intesto male l'enunciato, ma mi pare evidente che è impossibile che un punto vincolato, che si muove a 1/10 della velocità di espansione del perimetro di un cerchio, possa coprirne il periodo. Se la frazione è <=1 non c'è modo che ciò avvenga.

[xXStephXx]

Non ne sono così sicuro xDD Potrei sparare una boiata stra mega gigantesca, però in qualche modo l'espansione della circonferenza può anche "aiutare" il punto ad arrivare a destinazione dandogli un po' di velocità.
Anche se la tua affermazione fosse vera, non mi sembra così eccessivamente ovvia.

[paolo9993]

No, l,espansione della circonferenza non aiuta di certo il punto A dato che la sua velocita' su C e' sempre di un cm/sec ed un cm e'sempre un cm. Bisogna pensare invece in termini di angoli;ogni cm percorso A compie una frazione dell'angolo giro,bisogna vedere se la frazione di angolo giro percorsa ogni secondo da A diminuisce troppo velocemente per non permettergli di completare un giro completo oppure no.

[xXStephXx]

Però non ho ben capito come si espande la circonferenza. Cioè l'espansione è proporzionale? Nel senso che la nuova lunghezza acquisita viene distribuita uniformemente su tutti i punti? (In questo caso dovrebbe aumentare anche la velocità del punto, visto che aumenta anche la distanza che ha percorso dalla partenza). Oppure l'espansione consiste nell'aggiungere un nuovo "pezzo" in un punto preciso?

[paolo9993]

Si puo' dire che ogni punto della circonferenza ,chiamiamo P un punto qualsiasi di C, (Chiamiamo o il Centro di C tale che o e' ovviamente fisso e non si muove)dicevo P si muove a velocita costante verso l'esterno nella direzione della retta che passa da o e da P. Tutto questo significa che C si espande a velocita' costante in modo che dopo ogni secondo la sis lunghezza aumenti di 10cm.

[MaMo2]

Ad intuito direi che il punto completerà sempre la circonferenza.
Infatti, qualunque sia la velocità di espansione della circonferenza, esso avrà sempre una certa velocità angolare...

[Thomas16]

MaMo mi sa che stavolta ti sbagli. Detto così ti puoi sempre aspettare che la velcità angolare diminuisca tanto velocemente nel tempo (pur rimanendo sempre con lo stesso segno) da fare convergere il suo integrale temporale, ovvero l'angolo percorso....

[Thomas16]

peraltro mi accorgo ora che paolo9999 aveva per l'appunto portato la medesima argomentazione...

[paolo9993]

L'intuito di MaMo ha ragione:dopo1sec. A ha coperto1/10 dell'angolo giro, dopo 2sec. 1/20, poi 1/30,1/40......questa e' la eerie armonica moltiplicata per 1/10; la eerie armonica puo' raggiungere valori grandi a piacere basta un numero sufficente di addendi(ma sempre un numero finito, quindi dopo un numero finito di secondi A completa il duo giro).

[Thomas16]

alternativamente, con un po' di conti e scrivendo qualche integrale di più, si ha che la velocità angolare decresce come 1/t, che integrata da un logaritmo, divergente... qualche studente universitario di passaggio potrebbe provare a studiare velocità di accrescimento della circonferenza generiche e vedere che succede!

[xXStephXx]

Non capisco perchè dopo un secondo ne ha percorso 1/10, poi 1/20 e così via. Vabbè a parte il fatto che la circonferenza iniziale misura 1 cm, anche sorvolando su questo mi rimane comunque un dubbio. Applicando il ragionamento analogo ad intervalli di mezzo secondo si ha che nel primo mezzo secondo il punto percorre 0.5 cm e la circonferenza misura 5 cm. Quindi di fatto ha percorso 1/10 di circonferenza. Nel successivo mezzo secondo il punto percorre 0.5 cm e la circonferenza misura 10 cm. Quindi ecco che percorre 1/20 di giro. In totale dopo un secondo dovrebbe aver percorso come minimo 3/20 di circonferenza. Quindi dal momento che si prendono in considerazione velocità angolari istantanee non penso si possa calcolare l'angolo percorso in quel modo, a meno che non si prendessero in considerazioni pezzi di tempo di un infinitesimo di secondo.
Poi in realtà c'è sempre il fatto che la lunghezza iniziale è 1 cm e non lo sto considerando. Vabbè in effetti è pure meglio se ne percorre di più..

[Rggb1]

Il problema mi ha incuriosito. Secondo me il dubbio di xXStephXx è più che legittimo.

"paolo999":dopo1sec. A ha coperto1/10 dell'angolo giro, dopo 2sec. 1/20, poi 1/30,1/40......

Dopo quattro secondi il punto ha percorso $1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40=5/24$ di circonferenza, che è lunga 40 cm $^(1)$ e quindi una distanza totale di $d=40*5/24=25/3$ cm, ovvero più di 8 cm in quattro secondi. Ma la sua velocità non era di 1 cm/sec?

(1) In realtà dovrebbe essere 41 cm, ma il risultato è analogo.

[bgiorgio]

Intrigante. Per me non ce la fa.

Indicando con s lo spazio, t il tempo e v la velocità, abbiamo che s=1+10*t e v=1 (tralasciamo le unità). Essendo t=s/v, risolvendo l'equazione si ottiene t=-1/9, e il segno negativo indica che non ci sono soluzioni per t>0.

[Sk_Anonymous]

Alcune soluzioni presentate qui non mi piacciono molto perché non tengono conto del fatto che la crescita della circonferenza è continua e non discreta (ho capito bene che la crescita è continua?).

Ho provato a scrivere una soluzione, spero sia corretta.

Chiamiamo $v$ la velocità del punto $A$ e $r(t)$ il raggio della circonferenza (è funzione del tempo).
A prescindere da come sia fatta la funzione $r(t)$ (lo vedremo fra un attimo) la velocità angolare del punto $A$ all'istante $t$ è $\omega(t)=v/{r(t)}$.
Dato che la circonferenza cresce a velocità costante e il raggio è proporzionale alla circonferenza sarà $r(t)=\dot{r}t+r_0$, con $\dot{r}$ costante e $r_0$ raggio iniziale della circonferenza.
Vale quindi $\omega(t)=\frac{v}{\dot{r}t+r_0}$.
L'angolo totale percorso dal punto $A$ da quando comincia a muoversi ($t=0$) al tempo $T$ vale
$\theta(T)=\int_0^T \frac{v}{\dot{r}t+r_0}dt=\frac{v}{\dot{r}}\ln(1+\frac{\dot{r}}{r_0}T)$
Invertendo la funzione (non sarebbe necessario per concludere dato che $\theta(T)->+\infty$ quando $T->+\infty$, ma lo faccio lo stesso) si trova
$T(\theta)=\frac{r_0}{\dot{r}}(e^(\dot{r}/v\theta)-1)$
Quindi il punto $A$ compierà il giro dopo un tempo finito pari a $T(2\pi)=\frac{r_0}{\dot{r}}(e^(2\pi\dot{r}/v)-1)$

Inserendo i dati del problema $\dot{r}=1/{2\pi}\cdot 10 {cm}/sec$, $v=1 {cm}/sec$, $r_0=1/{2\pi} cm$ si trova che dopo il tempo $T(2\pi)\approx 2202\ \sec$ (poco meno di 37 minuti) il punto ha fatto il giro completo.

Nota: il punto riuscirà a fare quanti giri vuole, ma il tempo impiegato crescerà molto in fretta. Già per completare il secondo giro ci impiega più di un anno e mezzo, per fare il terzo oltre 33000 anni.