Cifre dei fattoriali

[nino_12]

- Come calcolare il numero delle cifre di $ N! $ per N molto grandi (es. 1.000.000 o 1.000.000.000)?

- Posto $ N_c $ il numero delle cifre del fattoriale $ N! $, a quale valore tende la parte decimale del rapporto $ N_c/N $ (per N potenze di 10) ?

[nino_12]

OK, ma non è ancora finita...

E' possibile migliorare l'approssimazione del numero delle cifre di questi fattoriali?
Ad esempio, quante sono, con una precisione maggiore rispetto a 8.565.700.000, le cifre del fattoriale di 1 miliardo?

E infine, questa parte decimale, perché è 5657, ossia a cosa (quale formula) esattamente corrisponde?

[nino_12]

"nino_":
... quante sono, con una precisione maggiore rispetto a 8.565.700.000, le cifre del fattoriale di 1 miliardo?

OK...

Per N grande, possiamo approssimare N! con la formula di Stirling.
N! ≈ (N^N)·e^(–N)· √(2·π·N).

Ora, ricordando che il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei fattori, per N = 10^n il numero N_c di cifre di N! viene:
N_c = n·10^n +1 – int((10^n)/ln(10) – (1/2) –(1/2)·[ln(2π)]/ln(10)

http://www.trekportal.it/coelestis/show ... count=1888

Con questa formula si ricava che il numero delle cifre di 1.000.000.000! è 8.565.705.521

"nino_":
E infine, questa parte decimale, perché è 5657, ossia a cosa (quale formula) esattamente corrisponde?

la parte decimale del rapporto N_c/N tende a 1 – 1/ln(10), cioè 0,565705518

[Studente Anonimo]

Consiglio la lettura di questo mio vecchio articolo sulla Biblioteca di Babele di Borges, nella prima parte mi diverto a giocare un po' con i fattoriali e le loro cifre:

https://www.matematicamente.it/curiosita ... -di-borges